/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 5639561

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 2α . Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Otrzymany przekrój AEF D jest trapezem równoramiennym, więc do obliczenia jego pola potrzebujemy obliczyć długości podstaw i wysokość. Jedną podstawę znamy AD = a , a wysokość łatwo obliczyć z trójkąta KLN . Piszemy twierdzenie sinusów w tym trójkącie.

NL NK ------ = --------∘---------- sin2α sin(18 0 − α− 2α) NL = asin2α-. sin 3α

Pozostało zająć się drugą podstawą trapezu. Spróbujemy ją obliczyć z trójkąta SBC , ale najpierw obliczmy długości odcinków LK i SK . Odcinek SK obliczamy z trójkąta prostokątnego SMK .

MK-- ---a---- SK = co s2α ⇒ SK = 2co s2α .

Odcinek LK obliczamy ponownie stosując twierdzenie sinusów w trójkącie KLN .

-NK--- LK--- a-sin-α- sin 3α = sin α ⇒ LK = sin 3α.

Teraz obliczamy długość drugiej podstawy – korzystamy z podobieństwa trójkątów SEF i SBC .

EF SL SK − LK LK ----= --- = ---------= 1− ---- BC SK( SK ) SK -asisinn3αα-- 2a-sinα-cos-2α EF = a 1− --a--- = a − sin 3α . 2cos2α

Pozostało obliczyć pole przekroju.

2a-sinαcos2α- P = AD--+-EF--⋅NL = a+--a−-----sin3α----⋅ a-sin-2α-= AEFD 2 2 sin3α 2 sin 3α− sin α cos2 α sin 2α 2 sin2α (sin 3α − sin αcos 2α) = a ⋅--------------------⋅ ------= a ⋅-------------2-------------. sin3 α sin 3α sin 3 α

 
Odpowiedź: a2 ⋅ sin-2α(sin-3α−2sinα-cos2α) sin 3α

Wersja PDF