Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy i kącie nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy
. Oblicz pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i równoległą do krawędzi podstawy oraz nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Podaj konieczne założenia dotyczące kąta
.
Szkicujemy opisaną sytuację.
Przekrój , o którym mowa w treści zadania to trójkąt równoramienny o podstawie
i wysokości
. Tę wysokość łatwo powiązać z wysokością ostrosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny
Pole trójkąta jest więc równe
Pozostało więc obliczyć wysokość ostrosłupa – zrobimy to na dwa sposoby. Zanim jednak przejdziemy do tych rachunków, ustalmy jeszcze jakie są możliwe wartość kąta
. Jeżeli odsuwamy wierzchołek
od płaszczyzny podstawy, to kąt ten rośnie i może być dowolnie bliski
, a jeżeli przybliżamy wierzchołek
do płaszczyzny podstawy, to trójkąt
zaczyna przybliżać trójkąt
i kąt ten dąży do
. Zatem
Gdybyśmy chcieli tę samą odpowiedź otrzymać bardziej rachunkowo, niż geometrycznie, to patrzymy na trójkąt , w którym
i zauważamy, że
.
Sposób I
Wysokość ostrosłupa obliczymy z trójkąta prostokątnego . Najpierw jednak obliczamy długość wysokości
ściany bocznej.
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
Pole przekroju jest więc równe
Sposób II
Tym razem wysokość ostrosłupa obliczymy z trójkąta prostokątnego . Najpierw obliczamy jednak długość krawędzi bocznej ostrosłupa.
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
Pole przekroju jest więc równe
Odpowiedź: ,