Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Przekroje, 6098664

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 6098664

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $b$ i kącie nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy $α$ . Oblicz pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i równoległą do krawędzi podstawy oraz nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $β$ . Podaj konieczne założenia dotyczące kąta $α$ .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Przekrój $EF S$ , o którym mowa w treści zadania to trójkąt równoramienny o podstawie $EF = b$ i wysokości $SK$ . Tę wysokość łatwo powiązać z wysokością ostrosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny $SKL$

SL- -SL-- SK = sinβ ⇒ SK = sinβ .

Pole trójkąta $EF S$ jest więc równe

1- b⋅-SL-- PEFS = 2 EF ⋅SK = 2sinβ .

Pozostało więc obliczyć wysokość ostrosłupa $SL$ – zrobimy to na dwa sposoby. Zanim jednak przejdziemy do tych rachunków, ustalmy jeszcze jakie są możliwe wartość kąta $α$ . Jeżeli odsuwamy wierzchołek $S$ od płaszczyzny podstawy, to kąt ten rośnie i może być dowolnie bliski $π- 2$ , a jeżeli przybliżamy wierzchołek $S$ do płaszczyzny podstawy, to trójkąt $BMS$ zaczyna przybliżać trójkąt $BML$ i kąt ten dąży do $π- 4$ . Zatem

(π π ) α ∈ --,-- . 4 2

Gdybyśmy chcieli tę samą odpowiedź otrzymać bardziej rachunkowo, niż geometrycznie, to patrzymy na trójkąt $BMS$ , w którym $SM- tgα = BM$ i zauważamy, że $( ) SM ∈ b,+∞ 2$ .