Zadanie nr 6585472
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ostry ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę . Oblicz tangens kąta ostrego
, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa oraz przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
W podstawie ostrosłupa jest kwadrat, oznaczmy jego bok przez (oznaczamy przez
, żeby było mniej ułamków).
Aby wyliczyć szukany tangens, potrzebujemy znać długości odcinków (czyli wysokość ostrosłupa) oraz
. Ten drugi to po prostu czwarta część przekątnej kwadratu w podstawie, czyli

Pozostało wyliczyć . Wyliczymy to oczywiście z trójkąta prostokątnego
, ale najpierw musimy wyliczyć
. Z trójkąta prostokątnego
, mamy

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie

Mamy zatem

Odpowiedź: