Zadanie nr 6585472
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ostry ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę . Oblicz tangens kąta ostrego
, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa oraz przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
W podstawie ostrosłupa jest kwadrat, oznaczmy jego bok przez (oznaczamy przez
, żeby było mniej ułamków).
Aby wyliczyć szukany tangens, potrzebujemy znać długości odcinków (czyli wysokość ostrosłupa) oraz
. Ten drugi to po prostu czwarta część przekątnej kwadratu w podstawie, czyli
![√ -- √ -- PS = 1-⋅AC = 1⋅ (2a 2) = --2-a. 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/6585472/HzadR5x.gif)
Pozostało wyliczyć . Wyliczymy to oczywiście z trójkąta prostokątnego
, ale najpierw musimy wyliczyć
. Z trójkąta prostokątnego
, mamy
![DD--′ α- BD ′ = ctg 2 ′ α DD = a ctg 2-.](https://img.zadania.info/zad/6585472/HzadR10x.gif)
Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie
![∘ -------------- ∘ ----------- ∘ ----------------- 2 α 2 α DS = (DD ′)2 − (SD ′)2 = a2 ctg --− a2 = a ctg --− 1. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6585472/HzadR12x.gif)
Mamy zatem
![∘ ----2 α--- ∘ ---2-α---- ∘ ------------ DS a c tg 2 − 1 2 ctg 2 − 1 2 α tgβ = P-S-= -----√2-------= -----√--------= 2ctg 2-− 2. -2 a 2](https://img.zadania.info/zad/6585472/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: