Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8744559

Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną wynosi x . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą środki dwóch sąsiednich boków podstawy i środek wysokości ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jest to jedno z tych zadań, że dobry rysunek w zasadzie załatwia sprawę.


PIC


Jeżeli oznaczymy krawędź podstawy przez a , a krawędź boczną przez b to pierwsza informacja mówi nam, że

 √ -- 1- 1- √ -- b- ab---2 x = 2AC ⋅F E = 2 ⋅ a 2⋅ 2 = 4 .

Powyżej skorzystaliśmy z tego, że FE = 1DS 2 – a tak jest na mocy twierdzenia Talesa w trójkącie DBS .

Czas zająć się drugim przekrojem. Na początku może być ciężko, ale jak trochę sobie porysujemy, to widać, że wyjdzie pewien pięciokąt P QRW U . Spróbujmy ustalić gdzie dokładnie są jego wierzchołki. Ponieważ odcinek GO łączy środki boków w trójkącie F BS , więc jest równoległy do krawędzi BS . Zatem cały przekrój jest równoległy do tej krawędzi, w szczególności odcinki P U i QR muszą być do niej równoległe, czyli czworokąt P QRU jest prostokątem. Ponieważ P i Q są środkami krawędzi AB i BC to

P U = QR = BS- = b. 2 2

Policzmy od razu pole prostokąta P QRU :

 √ -- √ -- P = P Q ⋅P U = a--2-⋅ b-= ab--2-= x. PQRU 2 2 4

Pozostało się zająć trójkątem URW . Jego podstawa ma długość

 √ -- UR = P Q = a--2-. 2

Aby wyznaczyć jego wysokość OW , połączmy ze sobą środki K i L krawędzi BS i DS . W powstałym trójkącie KLS odcinek OW przechodzi przez środek boku KL i jest równoległy do KS (bo już wcześniej ustaliliśmy, że GW i BS są równoległe). Zatem

 1 b OW = -KS = -. 2 4

Zatem pole trójkąta URW jest równe

 √ -- √ -- 1 1 a 2 b ab 2 x PURW = -UR ⋅OW = --⋅-----⋅--= ------= --. 2 2 2 4 16 4

Pole całego przekroju jest równe

 x- 5- PPQRU + PURW = x + 4 = 4x .

 
Odpowiedź: 5x 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!