Zadanie nr 8744559
Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną wynosi . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą środki dwóch sąsiednich boków podstawy i środek wysokości ostrosłupa.
Rozwiązanie
Jest to jedno z tych zadań, że dobry rysunek w zasadzie załatwia sprawę.
Jeżeli oznaczymy krawędź podstawy przez , a krawędź boczną przez
to pierwsza informacja mówi nam, że
![√ -- 1- 1- √ -- b- ab---2 x = 2AC ⋅F E = 2 ⋅ a 2⋅ 2 = 4 .](https://img.zadania.info/zad/8744559/HzadR3x.gif)
Powyżej skorzystaliśmy z tego, że – a tak jest na mocy twierdzenia Talesa w trójkącie
.
Czas zająć się drugim przekrojem. Na początku może być ciężko, ale jak trochę sobie porysujemy, to widać, że wyjdzie pewien pięciokąt . Spróbujmy ustalić gdzie dokładnie są jego wierzchołki. Ponieważ odcinek
łączy środki boków w trójkącie
, więc jest równoległy do krawędzi
. Zatem cały przekrój jest równoległy do tej krawędzi, w szczególności odcinki
i
muszą być do niej równoległe, czyli czworokąt
jest prostokątem. Ponieważ
i
są środkami krawędzi
i
to
![P U = QR = BS- = b. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8744559/HzadR17x.gif)
Policzmy od razu pole prostokąta :
![√ -- √ -- P = P Q ⋅P U = a--2-⋅ b-= ab--2-= x. PQRU 2 2 4](https://img.zadania.info/zad/8744559/HzadR19x.gif)
Pozostało się zająć trójkątem . Jego podstawa ma długość
![√ -- UR = P Q = a--2-. 2](https://img.zadania.info/zad/8744559/HzadR21x.gif)
Aby wyznaczyć jego wysokość , połączmy ze sobą środki
i
krawędzi
i
. W powstałym trójkącie
odcinek
przechodzi przez środek boku
i jest równoległy do
(bo już wcześniej ustaliliśmy, że
i
są równoległe). Zatem
![1 b OW = -KS = -. 2 4](https://img.zadania.info/zad/8744559/HzadR33x.gif)
Zatem pole trójkąta jest równe
![√ -- √ -- 1 1 a 2 b ab 2 x PURW = -UR ⋅OW = --⋅-----⋅--= ------= --. 2 2 2 4 16 4](https://img.zadania.info/zad/8744559/HzadR35x.gif)
Pole całego przekroju jest równe
![x- 5- PPQRU + PURW = x + 4 = 4x .](https://img.zadania.info/zad/8744559/HzadR36x.gif)
Odpowiedź: