Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Przekroje, 8744559

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 8744559

Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną wynosi $x$ . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą środki dwóch sąsiednich boków podstawy i środek wysokości ostrosłupa.

Rozwiązanie

Jest to jedno z tych zadań, że dobry rysunek w zasadzie załatwia sprawę.

Jeżeli oznaczymy krawędź podstawy przez $a$ , a krawędź boczną przez $b$ to pierwsza informacja mówi nam, że

√ -- 1- 1- √ -- b- ab---2 x = 2AC ⋅F E = 2 ⋅ a 2⋅ 2 = 4 .

Powyżej skorzystaliśmy z tego, że $FE = 1DS 2$ – a tak jest na mocy twierdzenia Talesa w trójkącie $DBS$ .

Czas zająć się drugim przekrojem. Na początku może być ciężko, ale jak trochę sobie porysujemy, to widać, że wyjdzie pewien pięciokąt $P QRW U$ . Spróbujmy ustalić gdzie dokładnie są jego wierzchołki. Ponieważ odcinek $GO$ łączy środki boków w trójkącie $F BS$ , więc jest równoległy do krawędzi $BS$ . Zatem cały przekrój jest równoległy do tej krawędzi, w szczególności odcinki $P U$ i $QR$ muszą być do niej równoległe, czyli czworokąt $P QRU$ jest prostokątem. Ponieważ $P$ i $Q$ są środkami krawędzi $AB$ i $BC$ to

P U = QR = BS- = b. 2 2

Policzmy od razu pole prostokąta $P QRU$ :

√ -- √ -- P = P Q ⋅P U = a--2-⋅ b-= ab--2-= x. PQRU 2 2 4

Pozostało się zająć trójkątem $URW$ . Jego podstawa ma długość

√ -- UR = P Q = a--2-. 2

Aby wyznaczyć jego wysokość $OW$ , połączmy ze sobą środki $K$ i $L$ krawędzi $BS$ i $DS$ . W powstałym trójkącie $KLS$ odcinek $OW$ przechodzi przez środek boku $KL$ i jest równoległy do $KS$ (bo już wcześniej ustaliliśmy, że $GW$ i $BS$ są równoległe). Zatem