Zadanie nr 8920280
Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zawierającego przekątną podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o polu . Oblicz objętość tego ostrosłupa . Wykonaj rysunek pomocniczy.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy, a przez
długość krawędzi bocznej ostrosłupa.
Z wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy
![2√ -- √ -- S = b---3- ⇒ b = 2√--S. 4 43](https://img.zadania.info/zad/8920280/HzadR3x.gif)
Wiemy również, że przekątna podstawy ma długość , więc
![√ -- √ -- √ --- √ -- 2 S 2 S 2S a 2 = b = √4--- ⇒ a = √----√4--= -4√---. 3 2 ⋅ 3 3](https://img.zadania.info/zad/8920280/HzadR5x.gif)
Ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym obliczamy wysokość ostrosłupa.
![√ -- √ -- √ -- √ --- h = b--3-= 2√-S-⋅---3 = -√3S-. 2 4 3 2 43](https://img.zadania.info/zad/8920280/HzadR7x.gif)
Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa
![√ --- √ -- √ --- √ -- 1- 2 1- 2S-- --3S- 2S---S 2-427S---S- V = 3 a ⋅h = 3 ⋅√ --⋅ √4-- = √4-- = 9 . 3 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/8920280/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: