Zadanie nr 9163633
Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzna przechodzącą przez krawędź podstawy i przecinającą przeciwległe krawędzie boczne w punktach jednakowo odległych od wierzchołka ostrosłupa. Przekrój ten jest trapezem o podstawach długości 12 i 8. Oblicz pole tego przekroju, jeżeli wysokość ostrosłupa ma długość 18.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Skoro znamy długości podstaw trapezu , to wystarczy obliczyć długość jego wysokości
. Zrobimy to stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie
– potrzebujemy jednak do tego długość odcinka
i
. Zacznijmy od cosinusa.
![------------- ∘ 2 2 √ --------- √ ---- √ --- SK = SM + KM = 324 + 36 = 360 = 6 10 KM-- --6--- --1-- cos α = SK = 6√ 10-= √ 10-.](https://img.zadania.info/zad/9163633/HzadR6x.gif)
Zauważmy teraz, że trójkąty i
są podobne, więc
![SN-- EF-- EF-- 8-- √ --- √ --- SK = AD ⇒ SN = AD ⋅SK = 12 ⋅ 6 10 = 4 1 0.](https://img.zadania.info/zad/9163633/HzadR9x.gif)
Stąd
![√ --- √ --- √ --- KN = SK − SN = 6 1 0− 4 10 = 2 1 0](https://img.zadania.info/zad/9163633/HzadR10x.gif)
i
![NL 2 = KL 2 + KN 2 − 2KL ⋅KN ⋅c osα = √ --- 1 = 1 44+ 40− 2⋅1 2⋅2 10⋅ √----= 1 84− 48 = 136. 10](https://img.zadania.info/zad/9163633/HzadR11x.gif)
Zatem i pole trapezu
jest równe
![BC--+-EF- 12-+-8- √ --- √ --- 2 ⋅NL = 2 ⋅2 34 = 20 34.](https://img.zadania.info/zad/9163633/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: