/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 9163633

Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzna przechodzącą przez krawędź podstawy i przecinającą przeciwległe krawędzie boczne w punktach jednakowo odległych od wierzchołka ostrosłupa. Przekrój ten jest trapezem o podstawach długości 12 i 8. Oblicz pole tego przekroju, jeżeli wysokość ostrosłupa ma długość 18.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Skoro znamy długości podstaw trapezu BCF E , to wystarczy obliczyć długość jego wysokości NL . Zrobimy to stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie KLN – potrzebujemy jednak do tego długość odcinka KN i cosα = cos∡SKM . Zacznijmy od cosinusa.

------------- ∘ 2 2 √ --------- √ ---- √ --- SK = SM + KM = 324 + 36 = 360 = 6 10 KM-- --6--- --1-- cos α = SK = 6√ 10-= √ 10-.

Zauważmy teraz, że trójkąty SAD i SEF są podobne, więc

SN-- EF-- EF-- 8-- √ --- √ --- SK = AD ⇒ SN = AD ⋅SK = 12 ⋅ 6 10 = 4 1 0.

Stąd

√ --- √ --- √ --- KN = SK − SN = 6 1 0− 4 10 = 2 1 0

i

NL 2 = KL 2 + KN 2 − 2KL ⋅KN ⋅c osα = √ --- 1 = 1 44+ 40− 2⋅1 2⋅2 10⋅ √----= 1 84− 48 = 136. 10

Zatem √ ---- √ --- NL = 136 = 2 34 i pole trapezu BCF E jest równe

BC--+-EF- 12-+-8- √ --- √ --- 2 ⋅NL = 2 ⋅2 34 = 20 34.

 
Odpowiedź: √ --- 20 34

Wersja PDF