Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9420477

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 2 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Przez przekątną podstawy i środek rozłącznej z nią krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Po pierwsze znamy podstawę trójkąta będącego opisanym przekrojem.

 √ -- AC = a 2.

Pozostało wyliczyć jego wysokość EF .

Sposób I

Wyliczymy ją z trójkąta prostokątnego F BS . W tym trójkącie mamy

 ∘ ----------- ∘ ---------- ∘ -- BS = FS 2 + FB2 = 4a2 + 1a 2 = 9-a = √3--a. 2 2 2

Ponadto

 √- √ --√ -- FB- --22a- --2⋅---2 1- cos∡F BE = BS = 3√a- = 6 = 3 . 2

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta FBE .

 2 2 2 F E = F B + BE − 2FB ⋅BE cos∡F BE 2 2 1- 2 F E = F B + 4 BS − F B ⋅BS cos ∡F BE √ -- F E2 = 1a2 + 9a2 − ---2a⋅ 3√a--⋅ 1 2 8 2 2 3 2 1 2 9 2 1 2 F E = -a + -a − --a 2 8 2 F E2 = 9a2 8√ -- 3 2 F E = ----a. 4

Pozostało policzyć pole

 √ -- 1 1 √ -- 3 2 3 P = -AC ⋅F E = -⋅ a 2⋅ ----a = -a2. 2 2 4 4

Sposób II

Tak naprawdę, odcinek FE mogliśmy wyliczyć znacznie prościej zauważając, że jest to środkowa w trójkącie prostokątnym FBS , a długość środkowej opuszczonej na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym jest równa połowie przeciwprostokątnej (bo obie te długości to promień okręgu opisanego na trójkącie). Zatem FE = EB = 12BS . Długość odcinka BS i pole liczymy jak poprzednio.  
Odpowiedź: 3 2 4a

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!