/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Warunkowe i całkowite/Monety

Zadanie nr 9859199

Rzucamy 5 razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej 4 orłów lub co najmniej 4 reszek, jeżeli wiadomo, że otrzymaliśmy co najmniej jedną reszkę.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Założenie o tym, że otrzymaliśmy co najmniej jedną reszkę oznacza, że za zdarzenia elementarne możemy przyjąć ciągi otrzymanych reszek/orłów i możemy założyć, że nie ma wśród nich ciągu (O,O ,O ,O ,O) . Jest więc

2 ⋅2 ⋅2⋅2 ⋅2 − 1 = 3 1

zdarzeń elementarnych.

Zamiast obliczać ile jest zdarzeń sprzyjających obliczmy, ile jest zdarzeń przeciwnych. W zdarzeniach tych otrzymaliśmy 3 orły i 2 reszki lub odwrotnie. Ze względu na symetryczną rolę reszek i orłów, będzie dokładnie tyle samo zdarzeń sprzyjających w obu przypadkach, więc zajmiemy się tylko sytuacją z 3 orłami i 2 reszkami. Miejsca dla reszek możemy wybrać na

( 5) 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2

sposobów, a na pozostałych miejscach musimy umieścić orły. Jest więc 20 zdarzeń, w których nie mamy co najmniej 4 orłów lub co najmniej 4 reszek. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest wiec równe

1 − 20-= 1-1. 31 3 1

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez A zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej 4 orłów lub co najmniej 4 reszek, a przez B zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej 1 reszki, to musimy obliczyć

P-(A-∩-B-) P (A |B ) = P(B ) .

Jest tylko jedno zdarzenie przeciwne do B – jest to zdarzenie, w którym otrzymaliśmy same orły, więc

1 31 P(B ) = 1− -5-= -5- 2 2

(bo wszystkich możliwych wyników pięciokrotnego rzutu monetą jest 5 2 ).

Zajmijmy się teraz zdarzeniem A ∩ B . Łatwo wypisać wszystkie zdarzenia sprzyjające temu zdarzeniu:

(O ,O,O ,O ,R),(O ,O ,O ,R ,O ),(O ,O ,R ,O ,O),(O ,R ,O,O ,O ),(R,O ,O ,O,O ) (R,R ,R ,R,O ),(R,R ,R ,O,R ),(R,R ,O ,R,R ),(R,O ,R ,R,R ),(O ,R,R ,R,R ) (R,R ,R ,R,R ).

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

P (A ∩ B ) 11 11 P(A |B) = ---------- = -25= ---. P(B ) 3215 31

 
Odpowiedź: 11 31

Wersja PDF