/Konkursy/Zadania/Kombinatoryka/Turnieje, prezenty

Zadanie nr 8789622

Turnieju tenisowego rozgrywanego systemem każdy z każdym nie ukończyło dwóch graczy. Jeden z nich rozegrał tylko jeden mecz, a drugi dziesięć meczy. Ilu zawodników przystąpiło do turnieju, jeżeli wiadomo, że rozegrano 55 meczy? Czy zawodnicy, którzy nie ukończyli turnieju rozegrali ze sobą mecz?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukaną liczbę zawodników przez n . Z treści wiemy, że n − 2 z nich rozegrało mecze każdy z każdym. Ile było tych meczy? Dokładnie

( ) n − 2 (n-−--2)(n−--3) 2 = 2 .

To jednak nie wszystko, bo są jeszcze mecze rozegrane przez dwóch, osobno opisanych zawodników. Ile ich trzeba dołożyć? Na pewno co najmniej 10 meczy rozegranych przez drugiego z tych zawodników. Teraz wszystko zależy od tego czy ci dwaj specjalni zawodnicy rozegrali ze sobą mecz. Jeżeli rozegrali, to ten 1 mecz pierwszego zawodnika już policzyliśmy, a jeżeli nie rozegrali to trzeba go dodać. Żeby dwa razy nie przepisywać tego samego, oznaczmy przez x liczbę 0 lub 1, w zależności od tego czy Ci dwaj zawodnicy rozegrali mecz. Mamy więc równanie

(n-−-2)(n-−-3)-+ 10 + x = 55 2 (n − 2)(n − 3) ------2--------= 45− x (n− 2)(n − 3) = 90 − 2x n−5n − 84+ 2x = 0 Δ = 25 + 4 (84+ 2x) = 361 + 8x .

Teraz sprawdzamy, dla x = 0 mamy Δ = 361 = 1 92 , a dla x = 1 mamy Δ = 369 i nie jest to kwadrat liczby całkowitej, co oznacza, że w tym przypadku równanie nie ma rozwiązań całkowitych. Zatem x = 0 i mamy

5 + 19 n = -------= 12. 2

 
Odpowiedź: Dwunastu. Tak, rozegrali.

Wersja PDF