/Konkursy/Zadania/Kombinatoryka/Turnieje, prezenty

Zadanie nr 8789622

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Turnieju tenisowego rozgrywanego systemem każdy z każdym nie ukończyło dwóch graczy. Jeden z nich rozegrał tylko jeden mecz, a drugi dziesięć meczy. Ilu zawodników przystąpiło do turnieju, jeżeli wiadomo, że rozegrano 55 meczy? Czy zawodnicy, którzy nie ukończyli turnieju rozegrali ze sobą mecz?

Rozwiązanie

Oznaczmy szukaną liczbę zawodników przez n . Z treści wiemy, że n − 2 z nich rozegrało mecze każdy z każdym. Ile było tych meczy? Dokładnie

( ) n − 2 (n-−--2)(n−--3) 2 = 2 .

To jednak nie wszystko, bo są jeszcze mecze rozegrane przez dwóch, osobno opisanych zawodników. Ile ich trzeba dołożyć? Na pewno co najmniej 10 meczy rozegranych przez drugiego z tych zawodników. Teraz wszystko zależy od tego czy ci dwaj specjalni zawodnicy rozegrali ze sobą mecz. Jeżeli rozegrali, to ten 1 mecz pierwszego zawodnika już policzyliśmy, a jeżeli nie rozegrali to trzeba go dodać. Żeby dwa razy nie przepisywać tego samego, oznaczmy przez x liczbę 0 lub 1, w zależności od tego czy Ci dwaj zawodnicy rozegrali mecz. Mamy więc równanie

(n-−-2)(n-−-3)-+ 10 + x = 55 2 (n − 2)(n − 3) ------2--------= 45− x (n− 2)(n − 3) = 90 − 2x n−5n − 84+ 2x = 0 Δ = 25 + 4 (84+ 2x) = 361 + 8x .

Teraz sprawdzamy, dla x = 0 mamy Δ = 361 = 1 92 , a dla x = 1 mamy Δ = 369 i nie jest to kwadrat liczby całkowitej, co oznacza, że w tym przypadku równanie nie ma rozwiązań całkowitych. Zatem x = 0 i mamy

5 + 19 n = -------= 12. 2

 
Odpowiedź: Dwunastu. Tak, rozegrali.

Wersja PDF