Liczby naturalne dodatnie a,b,c spełniają równanie a^2+b^2=c^2.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Równania, 3112246

Zadanie nr 3112246

Liczby naturalne dodatnie $a ,b ,c$ spełniają równanie $2 2 2 a + b = c$ . Uzasadnij, że liczba $abc$ jest

Rozwiązanie

Jeżeli jedna z liczb $a$ lub $b$ jest parzysta to koniec. Jeżeli natomiast obie są nieparzyste, to parzyste musi być $c$ jako suma dwóch liczb nieparzystch.
Sprawdźmy jakie reszty z dzielenia przez 3 może dawać kwadrat $n2$ liczby naturalnej. Jeżeli $n$ dzieli się przez 3, to reszta jest 0. Jeżeli $n = 3k + 1$ , to mamy $2 2 2 n = 9k + 6k+ 1 = 3(3k + 2k) + 1,$
zatem reszta jest 1. Jeżeli natomiast $n = 3k + 2$ to
$2 2 2 n = 9k + 12k + 4 = 3(3k + 4k+ 1)+ 1,$
zatem reszta znowu jest 1. Morał z tego taki, że kwadrat liczby naturalnej nie może dawać reszty 2 z dzielenia przez 3.
Jeżeli teraz popatrzymy na równanie
$a2 + b 2 = c2$
to jedna z liczb $a$ lub $b$ musi dzielić się przez 3. Rzeczywiście, gdyby tak nie było, to lewa strona dawałaby resztę 2 z dzielenia przez 3 (bo kwadrat daje resztę 1), czyli taką samą resztę dawałoby $c2$ , co, jak już sprawdziliśmy, jest niemożliwe.