/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Równania

Zadanie nr 3112246

Liczby naturalne dodatnie a ,b ,c spełniają równanie 2 2 2 a + b = c . Uzasadnij, że liczba abc jest

  • parzysta;
  • podzielna przez 3.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Jeżeli jedna z liczb a lub b jest parzysta to koniec. Jeżeli natomiast obie są nieparzyste, to parzyste musi być c jako suma dwóch liczb nieparzystch.
  • Sprawdźmy jakie reszty z dzielenia przez 3 może dawać kwadrat n2 liczby naturalnej. Jeżeli n dzieli się przez 3, to reszta jest 0. Jeżeli n = 3k + 1 , to mamy
    2 2 2 n = 9k + 6k+ 1 = 3(3k + 2k) + 1,

    zatem reszta jest 1. Jeżeli natomiast n = 3k + 2 to

    2 2 2 n = 9k + 12k + 4 = 3(3k + 4k+ 1)+ 1,

    zatem reszta znowu jest 1. Morał z tego taki, że kwadrat liczby naturalnej nie może dawać reszty 2 z dzielenia przez 3.

    Jeżeli teraz popatrzymy na równanie

    a2 + b 2 = c2

    to jedna z liczb a lub b musi dzielić się przez 3. Rzeczywiście, gdyby tak nie było, to lewa strona dawałaby resztę 2 z dzielenia przez 3 (bo kwadrat daje resztę 1), czyli taką samą resztę dawałoby c2 , co, jak już sprawdziliśmy, jest niemożliwe.

Wersja PDF