Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3277987

W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary α oraz 90∘ + α . Jedno z ramion tego trapezu ma długość t . Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Z treści zadania nie wynika jednoznacznie, które ramię ma długość t , ani który kąt ma miarę α , ale na razie się tym nie przejmujmy – zajmiemy się tym na samym końcu.

Ponieważ  ∘ ∡B + ∡C = 180 , warunek  ∘ ∡C = 90 + α oznacza, że  ∘ ∡B = 90 − α .

Sposób I

Jeżeli przedłużymy ramiona trapezu tak, aby się przecięły w punkcie S , to otrzymamy trójkąt prostokątny ABS (bo ∡A + ∡B = 90 ∘ ). Prostokątny jest też trójkąt DCS , więc przy oznaczeniach z rysunku mamy

x-= cosα ⇒ x = b cosα b t+--x a = cos α ⇒ t + x = a cosα .

Podstawiając x = b cosα z pierwszej równości do drugiej, mamy

t+ b cosα = aco sα t = (a− b )cos α / : co sα a− b = --t--. cos α

Sposób II

Tym razem dorysujmy odcinek DE równoległy do ramienia CB . Otrzymany trójkąt AED jest prostokątny (bo  ∘ ∡A + ∡AED = 90 ) oraz AE = AB − DC = a − b . Mamy więc

 t t ------= cosα ⇒ a− b = -----. a − b cos α

Na zakończenie zastanówmy się co się dzieje, gdy ramię długości t nie jest przyległe do α , ale do 90∘ − α . W takiej sytuacji wszystkie nasze rachunki pozostają bez zmian, o ile tylko zmienimy wszędzie α na  ∘ 90 − α . W szczególności szukana różnica podstaw będzie wtedy równa

 t t -------∘----- = -----. co s(9 0 − α) sin α

 
Odpowiedź: cotsα lub stin-α

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!