Zadanie nr 3277987
W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary oraz
. Jedno z ramion tego trapezu ma długość
. Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Z treści zadania nie wynika jednoznacznie, które ramię ma długość , ani który kąt ma miarę
, ale na razie się tym nie przejmujmy – zajmiemy się tym na samym końcu.
Ponieważ , warunek
oznacza, że
.
Sposób I
Jeżeli przedłużymy ramiona trapezu tak, aby się przecięły w punkcie , to otrzymamy trójkąt prostokątny
(bo
). Prostokątny jest też trójkąt
, więc przy oznaczeniach z rysunku mamy
![x-= cosα ⇒ x = b cosα b t+--x a = cos α ⇒ t + x = a cosα .](https://img.zadania.info/zad/3277987/HzadR10x.gif)
Podstawiając z pierwszej równości do drugiej, mamy
![t+ b cosα = aco sα t = (a− b )cos α / : co sα a− b = --t--. cos α](https://img.zadania.info/zad/3277987/HzadR12x.gif)
Sposób II
Tym razem dorysujmy odcinek równoległy do ramienia
. Otrzymany trójkąt
jest prostokątny (bo
) oraz
. Mamy więc
![t t ------= cosα ⇒ a− b = -----. a − b cos α](https://img.zadania.info/zad/3277987/HzadR18x.gif)
Na zakończenie zastanówmy się co się dzieje, gdy ramię długości nie jest przyległe do
, ale do
. W takiej sytuacji wszystkie nasze rachunki pozostają bez zmian, o ile tylko zmienimy wszędzie
na
. W szczególności szukana różnica podstaw będzie wtedy równa
![t t -------∘----- = -----. co s(9 0 − α) sin α](https://img.zadania.info/zad/3277987/HzadR24x.gif)
Odpowiedź: lub