Zadanie nr 9839744
Krótsza podstawa trapezu ma długość , a ramiona długości
i 6 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach
i
odpowiednio. Oblicz pole trapezu.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Zauważmy, że trójkąt jest połówką kwadratu o boku 3, więc jego pole jest równe
![P = 1-⋅3 ⋅3 = 9-. AED 2 2](https://img.zadania.info/zad/9839744/HzadR2x.gif)
Ponadto i
![√ -- √ -- PEFCD = 3⋅ 3 = 3 3.](https://img.zadania.info/zad/9839744/HzadR4x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąt – jest to połówka trójkąta równobocznego o boku 6, więc jego pole jest równe
![√ -- √ -- 1- 62 ⋅--3 9---3 PFBC = 2 ⋅ 4 = 2 .](https://img.zadania.info/zad/9839744/HzadR6x.gif)
Pole trapezu jest więc równe
![√ -- √ -- √ -- PABCD = PAED + PEFCD + PFBC = 9-+ 3 3+ 9--3-= 9-+ 15---3. 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/9839744/HzadR7x.gif)
Sposób II
Patrzymy najpierw na trójkąt prostokątny – możemy z niego obliczyć długości odcinków
i
.
![√ -- √ -- √ -- -h√---= sin 45∘ = --2- ⇒ h = --2-⋅3 2 = 3. 3 2 2 2 AE √ 2- √ 2- √ -- -√---= cos45∘ = ---- ⇒ AE = ----⋅3 2 = 3. 3 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/9839744/HzadR11x.gif)
Podobnie, korzystając z trójkąta obliczamy długość odcinka
.
![√ -- √ -- FB-= cos 30∘ = --3- ⇒ FB = --3-⋅6 = 3√ 3. 6 2 2](https://img.zadania.info/zad/9839744/HzadR14x.gif)
Zatem
![√ -- √ -- √ -- AB = AE + EF + F B = 3 + 3 + 3 3 = 3+ 4 3](https://img.zadania.info/zad/9839744/HzadR15x.gif)
i pole trapezu jest równe
![√ -- √ -- √ -- AB--+-CD-- 3-+-4--3-+---3- 9+--15--3- P = 2 ⋅h = 2 ⋅3 = 2 .](https://img.zadania.info/zad/9839744/HzadR16x.gif)
Odpowiedź: