/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2017/Matura
Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 9 maja 2017 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Liczba jest równa
A) 2 B) 4 C) D)
Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem dla
. Wtedy
A) B)
C)
D)
Odcinek jest wysokością trójkąta
, w którym
(zobacz rysunek). Okrąg o środku
i promieniu
jest styczny do prostej
. Okrąg ten przecina boki
i
trójkąta odpowiednio w punktach
i
.
Zaznaczony na rysunku kąt wpisany w okrąg jest równy
A) B)
C)
D)
Dane są punkt i wektor
. Punkt
, taki, że
, ma współrzędne
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika
.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
.
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
![x2y2 + 2x 2 + 2y 2 − 8xy + 4 > 0.](https://img.zadania.info/zes/0087868/HzesT41x.gif)
W trójkącie ostrokątnym bok
ma długość
, długość boku
jest równa
oraz
. Dwusieczna kąta
przecina bok
trójkąta w punkcie
. Wykaż, że długość odcinka
jest równa
.
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna , równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej
objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka
kuli od płaszczyzny
, tj. długość najkrótszego spośród odcinków
, gdzie
jest punktem płaszczyzny
.
Rozwiąż równanie w przedziale
.
W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![4x2 − 6mx + (2m + 3)(m − 3) = 0](https://img.zadania.info/zes/0087868/HzesT63x.gif)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste i
, przy czym
, spełniające warunek
![(4x 1 − 4x 2 − 1 )(4x 1 − 4x2 + 1) < 0.](https://img.zadania.info/zes/0087868/HzesT67x.gif)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty i
, którego środek leży na prostej o równaniu
.
Liczby są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg
jest geometryczny. Wyznacz liczby
.
Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej . Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.