Zadanie nr 9376905
Wyprowadź wzór na wysokość raty
kredytu udzielonego w kwocie
, przy założeniu, że:
– spłata tego kredytu jest rozłożona na równych rat płaconych miesięcznie;
– pierwszą ratę wpłacamy po miesiącu od daty udzielenia kredytu;
– roczne oprocentowanie kredytu jest równe i
.
Rozwiązanie
Cała trudność w ustaleniu wysokości raty kredytu polega na tym, że spłacając kredyt zmniejszamy kwotę, od której są naliczane odsetki, więc w każdej racie stosunek wartości odsetek do spłacanego kapitału jest inny (dokładniej: robi się coraz mniejszy).
Aby łatwo ominąć ten problem zastosujemy podstawową zasadę matematyki finansowej: spróbujemy wszystkie raty i zobowiązania sprowadzić do jednego punktu w czasie – powiedzmy do momentu spłaty kredytu (czyli daty płatności ostatniej raty).
Zauważmy najpierw, że jeżeli wpłacamy do banku złotych, to po jednym miesiącu wartość tych pieniędzy urośnie do
![-r- ( r-) R + 12 ⋅R = 1 + 12 R = R ⋅q.](https://img.zadania.info/zad/9376905/HzadR1x.gif)
Po kolejnym miesiącu wartość wzrośnie do
![( ) Rq + -r-⋅Rq = 1 + r-- Rq = R ⋅q2. 12 12](https://img.zadania.info/zad/9376905/HzadR2x.gif)
itd. W takim razie w momencie wpłaty ostatniej raty kredytu wpłacone przez nas raty będą miały wartość (liczymy od końca, czyli od ostatniej wpłaconej raty)
![n R + Rq + Rq2 + ⋅⋅⋅+ Rqn −1 = R (1+ q+ ⋅⋅⋅+ qn− 1) = R ⋅ q-−-1-. q− 1](https://img.zadania.info/zad/9376905/HzadR3x.gif)
Z drugiej strony nasze zobowiązanie zaciągnięte od banku będzie w tym momencie miało wartość
![K ⋅qn](https://img.zadania.info/zad/9376905/HzadR4x.gif)
(przesuwamy to zobowiązanie o okresów w przyszłość). Mamy więc równanie
![qn −-1- n n q-−-1-- R ⋅ q − 1 = K ⋅q ⇒ R = K ⋅q ⋅ qn − 1.](https://img.zadania.info/zad/9376905/HzadR6x.gif)