/Szkoła średnia/Liczby/Wyrażenia algebraiczne/Oblicz wartość wyrażenia

Zadanie nr 3866878

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wiadomo, że a,b,c ∈ R ∖ {0 } oraz a + b + c = 0 . Oblicz wartość sumy

2 2 2 a--+ b-+ c-. bc ac ab

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy interesujące nas wyrażenie korzystając ze wzoru na sumę sześcianów oraz danej równości a+ b + c = 0 .

a2 b 2 c2 a3 + b 3 + c3 (a+ b)(a2 − ab+ b2)+ c3 ---+ ---+ ---= ------------= --------------------------= bc ac ab abc abc −c-(a2-−-ab-+-b2)+--c3 −a-2-+-ab-−-b2-+-c2 = abc = ab = 2 2 2 2 2 2 2 = −a---+-ab-−-b--+-(−a-−--b)- = −a---+-ab-−-b--+-a--+-2ab-+-b- = 3ab-= 3 . ab ab ab

Sposób II

Podstawiamy c = −a − b w danym wyrażeniu.

2 2 2 2 2 2 a--+ b--+ c--= ----a-----+ ----b----- + (−a--−-b)- = bc ac ab b(−a − b) a(−a − b) ab 3 3 3 3 3 3 2 2 3 = −a---−-b--+-(a+--b)- = −a---−-b--+-a--+-3a-b-+-3ab--+-b- = 3ab(a-+-b)-= 3. ab (a+ b) ab(a + b) ab (a+ b)

 
Odpowiedź: 3

Wersja PDF