Zadanie nr 1226812

Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym wynosi 3√-5 5 . Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.

Rozwiązanie

Naszkicujmy trójkąt prostokątny.

Sposób I

Z obrazka widzimy, że

sinα = a- c b sinβ = --. c

Zatem wiemy, że

√ -- 3 5 a b a + b -----= sin α + sinβ = --+ --= ------. 5 c c c

Podnosimy teraz tę równość stronami do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

9⋅ 5 a2 + 2ab + b2 c2 + 2ab ---- = --------------= --------- 25 c2 c2 9- 2ab- 5 = 1 + c2 4 2ab --= -2-- 5 c 2-= a⋅ b. 5 c c

Teraz pozostało zauważyć, że z prawej strony otrzymaliśmy dokładnie iloczyn sinusów:

sinα ⋅sinβ = a-⋅ b-= 2. c c 5

Sposób II

Tym razem skorzystajmy z równości β = 90 − α . Mamy więc

√ -- 3 5 -----= sin α+ sin β = sin α + sin(90∘ − α) = sin α + cos α. 5

Podnosimy tę równość stronami do kwadratu i korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

9-= sin2α + 2 sin α cosα + co s2α = 1 + 2 sinα cos α 5 4 ∘ --= 2sin αco s(90 − β) = 2 sin α sin β 5 2-= sinα sinβ . 5

Odpowiedź: 2 5