/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 2692949

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono wysokość CD , która podzieliła przeciwprostokątną AB na odcinki o długościach 32 cm i 18 cm (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz pole trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Oznaczmy: AC = b , BC = a i CD = h .

PIC

Sposób I

Na danym rysunku są 3 trójkąty prostokątne: ABC ,ADC i BCD . Piszemy twierdzenie Pitagorasa w każdym z tych trójkątów.

{ a2 − 3 24 = h2 = b2 − 102 4 2 2 2 a + b = 50 = 2500 .

Z pierwszego równania mamy a2 = b2 − 7 00 . Podstawiamy tę wartość do drugiego równania

b2 − 700 + b2 = 2 500 2 2 2b = 3 200 ⇒ b = 1 600 ⇒ b = 4 0 cm .

Stąd

2 2 2 a = b − 700 = 16 00− 700 = 90 0 = 30 ⇒ a = 30 cm

i pole trójkąta ABC jest równe

1 1 P = --ab = --⋅3 0⋅40 = 600 cm 2. 2 2

Sposób II

Trójkąty ADC i ACB są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku A . Są więc podobne i mamy

AD-- AC-- √ --------- √ ------- √ ----- AC = AB ⇒ AC = AD ⋅ AB = 32 ⋅50 = 1600 = 40 cm .

Analogicznie, z podobieństwa trójkątów BDC i BCA mamy

BD BC √ --------- √ ------- √ ---- ----= ---- ⇒ BC = BD ⋅ BA = 18 ⋅50 = 900 = 30 cm . BC BA

Pole trójkąta ABC jest równe

P = 1-ab = 1-⋅3 0⋅40 = 600 cm 2. 2 2

 
Odpowiedź: 600 cm 2

Wersja PDF