Zadanie nr 3521112

Długości i przyprostokątnych trójkąta prostokątnego spełniają równość

a 2 − 6ab − 7b 2 = 0.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ tangensy są równe i , podzielmy daną równość przez , żeby mieć właśnie takie wyrażenia (równie dobrze możemy podzielić przez ).

$a2- a- b2 − 6⋅ b − 7 = 0.$
Podstawmy teraz .

$2 t − 6t − 7 = 0 Δ = 36+ 28 = 64 t = 6-−-8-= − 1 ∨ t = 6-+-8-= 7 . 2 2$

Tangens kąta ostrego jest dodatni, więc . Stąd .

Sposób II

Zamiast dzielić podane wyrażenie przez lub mogliśmy rozłożyć je na czynniki.

$2 2 2 2 0 = a − 6ab − 7b = a − 7ab + ab− 7b = = a(a − 7b) + b(a − 7b) = (a + b)(a − 7b ).$

Ponieważ mamy stąd i dalej liczymy jak poprzednio.
Odpowiedź: 7 i
Z poprzedniego podpunktu wiemy, że , zatem pole jest równe
$P = 1ab = -1a 2. 2 14$