Zadanie nr 4605280

W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa 3 2 . Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest równy .

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli jest kątem ostrym trójkąta prostokątnego, to drugi kąt ostry ma miarę 90 ∘ − α . Mamy więc równanie

∘ 3- sinα + sin(90 − α ) = 2 3 sinα + co sα = -. 2

Podnieśmy tę ostatnią równość stronami do kwadratu.

2 2 9- sin α + cos α+ 2sinα cos α = 4 9 1 + 2 sin α cosα = -- 4 2 sin α cosα = 5- 4 5 sin α cosα = -. 8

Zauważmy teraz, że interesujący nas iloczyn cosinusów jest równy

∘ 5- co sαc os(90 − α) = co sα ⋅sin α = 8.

Sposób II

Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez i , a długość przeciwprostokątnej przez .

Mamy zatem

3-= sin∡A + sin ∡B = a+ b-= a+--b. 2 c c c

Podnosimy tę równość stronami do kwadratu (żeby skorzystać z twierdzenia Pitagorasa).

9- a2 +-2ab-+-b2- c2 +-2ab- 4 = c2 = c2 9 2ab --= 1+ --2- 4 c 5-= 2ab- / : 2 4 c2 ab 5 -2-= -. c 8

Teraz pozostało zauważyć, że

cos ∡A cos∡B = b-⋅ a-= ab-= 5. c c c2 8