/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 5452787

W trójkącie prostokątnym stosunek sumy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 54 . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny

PIC

Możemy tak oznaczyć boki trójkąta aby podany warunek zapisać w postaci

a+--b= 5- c 4 4a + 4b = 5c.

Sposób I

Podnosząc równość 4a = 5c − 4b do kwadratu i stosując twierdzenie Pitagorasa mamy

1 6a2 = 25c2 − 40bc + 16b 2 2 2 2 2 1 6c − 1 6b = 25c − 40bc + 16b 2 2 2 0 = 32b( −)40bc + 9(c ) / : c b 2 b 0 = 32 -- − 40 -- + 9. c c

Podstawiając b t = c ∈ (0,1) mamy równanie

2 32t − 40t + 9 = 0 √ -- Δ = 1600 − 11 52 = 448 = (8 7)2 √ -- √ -- √ -- √ -- 40-−-8---7 5-−---7- 40-+-8--7- 5+----7- t = 64 = 8 lub t = 6 4 = 8 .

Jeżeli √ - t = 5−8-7 , to

√ -- b- 5-−---7- cos α = c = t = 8 √ -- √ -- cos β = a-= 5-− b-= 5-− c osα = 5-− 5-−---7-= 5-+---7. c 4 c 4 4 8 8

Jeżeli natomiast 5+√7 t = --8-- , to otrzymamy te same liczby, ale w odwrotnej kolejności.

Sposób II

Tym razem od razu zapiszemy dane równanie z użyciem trygonometrii.

5-= a-+-b-= a-+ b-= sin α + cos α 4 c c c 5- 2 4 − sinα = cosα /() 25 5 ---− --sin α+ sin 2α = co s2α = 1 − sin2 α 16 2 2sin2α − 5-sin α + -9-= 0 / ⋅2 2 16 2 9 4sin α − 5sinα + --= 0. 8

Rozwiązujemy to równanie jak zwykłe równanie kwadratowe

Δ = 25− 18 = 7 √ -- √ -- 5-−---7- 5-+---7- sin α = 8 lub sinα = 8 .

W pierwszym przypadku mamy √ - cosβ = sinα = 5−8-7 i

√ -- √ -- 5- 5- 5-−---7- 5+----7- cos α = 4 − sin α = 4 − 8 = 8 .

 
Odpowiedź: √- 5−--7 8 i √- 5+--7 8

Wersja PDF