Zadanie nr 6968535

W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku jest prosty. Trójkąt AMB jest równoboczny. Oblicz miary kątów ostrych trójkąta ABC , jeśli pole trójkąta AMB jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Sposób I

Przyjmując oznaczenia długości boków z rysunku, mamy

2√ -- c---3-= 2⋅ ab- / : c2 4 2 √ 3- a b ----= --⋅-- √4-- c c --3- 4 = sin α cosα √ -- --3-= 2sin αco sα √2-- 3 ----= sin 2α 2 ∘ ∘ 2α = 60 ∨ 2α = 120 α = 3 0∘ ∨ α = 60 ∘.

Sposób II

Tym razem postąpimy bardziej geometrycznie. Spróbujmy narysować oba trójkąty po tej samej stronie prostej . Jeżeli przez i oznaczymy środki boków i trójkąta AMB , to wierzchołek musi leżeć na prostej (bo pole ABC ma być dwa razy mniejsze niż pole AMB ). Ponadto kąt ACB ma być prosty. Na prostej są dokładnie dwa punkty o tej własności, bo są to punkty wspólne tej prostej i okręgu o średnicy . Z drugiej strony tę własność mają punkty i , zatem punkt musi być jednym z tych punktów. Zatem kąty ostre trójkąta ABC to 3 0∘ i 60∘ .
Odpowiedź: 30∘ i 6 0∘