Zadanie nr 7634632

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.

Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki trójkąta przez A,B ,C , a środki kwadratów przez i .

Sposób I

Dorysujmy odcinek i oznaczmy przez i punkty przecięcia przeciwprostokątnej z odcinkami i .

Zauważmy, że ∡KAC = 45∘ , czyli odcinek jest równoległy do . Odcinek jest prostopadły do przeciwprostokątnej , więc trójkąty ABT i TBL są prostokątne i równoramienne (ich kąt ostry ma miarę ∘ 45 ). Zatem

AT = BT = TL.

Jak już zauważyliśmy, AK ∥ T S , więc na mocy twierdzenia Talesa

KS AT ---= ----= 1. SL T L

Sposób II

Dorysujmy jeszcze jeden kwadrat tak, jak na prawym obrazku i niech będzie jego środkiem.

Zauważmy, że BL = AC = KM oraz każdy z tych odcinków jest prostopadły do . To oznacza, że odcinki i mają równe długości i są równoległe. Czworokąt BLMK jest więc równoległobokiem.

Zauważmy ponadto, że odcinki i są równoległe (bo każdy z nich tworzy z prostą kąt ∘ 4 5 ). To oznacza, że zawiera się w przekątnej równoległoboku BLMK . Ponieważ przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, mamy KS = SL .