/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 9868456

Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę ∘ 30 . Pole kwadratu DEF G , wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oczywiście bok kwadratu DEF G to 2. Zauważmy teraz, że w każdym z trójkątów prostokątnych ADE , GCD , BGF jeden z kątów ostrych ma miarę 30 ∘ oraz jeden z boków ma długość 2. To pozwala dość łatwo obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta.

ED-- ∘ 1- AD = sin 30 = 2 ⇒ AD = 4 GC 1 ---- = sin 30∘ = -- ⇒ GC = 1 GD 2√ -- CD-- ∘ --3- √ -- GD = co s30 = 2 ⇒ CD = 3 √ -- GF--= cos 30∘ = --3- ⇒ BG = -2√- = √4-. BG 2 -3- 3 2

W takim razie

-- CA = CD + AD = √ 3 + 4 √4-- CB = GC + BG = 1 + 3

i pole trójkąta ABC jest równe

( ) 1- 1- √ -- -4-- P = 2CA ⋅CB = 2 ⋅( 3+ 4) 1 + √ -- = ( ) √3-- 1- √ -- 16-- 19--3- = 2 3 + 4 + 4 + √ 3- = 4+ 6 .

 
Odpowiedź: 19√-3 4 + 6

Wersja PDF