Zadanie nr 3814472

Pole trapezu jest równe , a stosunek długości jego podstaw wynosi . Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i załóżmy, że AB : CD = k .

Jedną z najważniejszych własności trapezu, która jest notorycznie wykorzystywana w zadaniach, jest podobieństwo trójkątów ABS i DSC . W dodatku, skala podobieństwa to dokładnie stosunek długości podstaw. Informacja ta oznacza w szczególności, że stosunki pól

S 1 : S3 = S1 : S4 = S3 : S2 = S4 : S 2

są równe . Aby to zobaczyć, popatrzmy na trójkąty BSA i SDA . Mają one wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka , a stosunek długości podstaw to BS : SD , czyli dokładnie skala podobieństwa trójkątów ABS i CDS . Podobnie uzasadniamy pozostałe równości. Morał z tego jest taki, że wszystkie pola możemy wyliczyć w zależności od jednego z nich, np. od S 2 . Mamy