Pole trapezu jest równe S, a stosunek długości jego podstaw wynosi... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Dany stosunek podstaw, 3814472

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Dowolny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Dany stosunek podstaw

Zadanie nr 3814472

Pole trapezu jest równe $S$ , a stosunek długości jego podstaw wynosi $k$ . Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i załóżmy, że $AB : CD = k$ .

Jedną z najważniejszych własności trapezu, która jest notorycznie wykorzystywana w zadaniach, jest podobieństwo trójkątów $ABS$ i $DSC$ . W dodatku, skala podobieństwa to dokładnie stosunek długości podstaw. Informacja ta oznacza w szczególności, że stosunki pól

S 1 : S3 = S1 : S4 = S3 : S2 = S4 : S 2

są równe $k$ . Aby to zobaczyć, popatrzmy na trójkąty $BSA$ i $SDA$ . Mają one wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$ , a stosunek długości podstaw to $BS : SD$ , czyli dokładnie skala podobieństwa trójkątów $ABS$ i $CDS$ . Podobnie uzasadniamy pozostałe równości. Morał z tego jest taki, że wszystkie pola możemy wyliczyć w zależności od jednego z nich, np. od $S 2$ . Mamy