Zadanie nr 6539130
W trapezie podstawa
jest 3 razy dłuższa od podstawy
. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie
, a proste zawierające ramiona
i
przecinają się w punkcie
. Oblicz stosunek pola czworokąta
do pola trapezu
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Oznaczmy pole trójkąta przez
. Spróbujemy (w zależności od
) wyliczyć pola wszystkich trójkątów na obrazku.
Wiemy, że , więc trójkąty
i
są podobne (bo mają równe kąty) w skali 3:1. Zatem
![2 PABE = 3 ⋅S = 9S.](https://img.zadania.info/zad/6539130/HzadR7x.gif)
Trójkąty i
mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą
, a stosunek ich podstaw jest równy
. Zatem
![P --AED-= 3 ⇒ PAED = 3S. PDEC](https://img.zadania.info/zad/6539130/HzadR12x.gif)
Dokładnie w ten sam sposób uzasadniamy, że .
Teraz popatrzmy na trójkąty i
. Mają one wspólną wysokość opuszczoną na prostą
oraz stosunek ich podstaw jest równy
![AD-- AF-−--DF-- AF-- AB-- DF = DF = DF − 1 = DC − 1 = 2.](https://img.zadania.info/zad/6539130/HzadR17x.gif)
Zatem
![P = 1-P = 1-⋅4S = 2S . DCF 2 ACD 2](https://img.zadania.info/zad/6539130/HzadR18x.gif)
Mamy więc
![PDECF-- --------PDEC-+--PCFD--------- -3S- -3- PABCD = PAED + PABE + PBEC + PDEC = 16S = 16 .](https://img.zadania.info/zad/6539130/HzadR19x.gif)
Odpowiedź: