Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7818635

Trapez, w którym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, podzielono odcinkiem łączącym środki ramion trapezu na dwa czworokąty. Oblicz stosunek pól otrzymanych czworokątów.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku


PIC


Sposób I

Jak wiadomo odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa) i ma długość równą średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu. W wyniku podziału otrzymaliśmy więc dwa trapezy oraz

 a+ 2a 3 F E = -------= --a. 2 2

W takim razie stosunek pól trapezów jest równy

 2a+-32a- h 3 7 PABEF--= --2---⋅2-= 2-+-2-= 2-= 7. PFECD a+32a-⋅ h 1 + 32 52 5 2 2

Sposób II

Jeżeli nie pamiętamy wzoru na długość odcinka łączącego środki ramion trapezu, możemy sobie poradzić następująco. Poprowadźmy odcinek CG równoległy do ramienia DA . W ten sposób podzieliliśmy wyjściowy trapez na dwa równoległoboki, trapez i trójkąt. Oznaczmy pole trójkąta przez S . Trójkąt CHE jest podobny do trójkąta CGB w skali 1:2 więc jego pole stanowi 1 4 pola trójkąta CGB . Zatem pole trapezu GBEH musi być równe 3S . Teraz zauważmy, że trójkąt GBC i równoległobok AGCD mają równe podstawy i wysokości, więc pole AGCD jest dwa razy większe od pola trójkąta CGB , czyli jest równe 8S . To oznacza, że pola równoległoboków AGHF i FHCD są równe 4S i szukany stosunek pól jest równy

PABEF 4S + 3S 7 -------= -------- = -. PFECD 4S + S 5

 
Odpowiedź: 7 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!