/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Stopnia 4

Zadanie nr 3139795

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wielomiany 4 3 2 W (x ) = x + ax + 12x + bx + 4 oraz P (x) są wielomianami o współczynnikach całkowitych, przy czym W (x ) = [P (x)]2 . Wyznacz wszystkie możliwe wartości a i b .

Rozwiązanie

Z równości

4 3 2 2 W (x ) = x + ax + 12x + bx + 4 = [P (x)]

wynika, że P(x) musi być wielomianem stopnia 2, czyli musi mieć postać

P (x) = px 2 + qx + r.

Wtedy

[P(x)]2 = (px 2 + qx+ r)2 = p2x4 + q2x2 + r2 + 2pqx 3 + 2prx 2 + 2qrx = 2 4 3 2 2 2 = p x + 2pqx + (q + 2pr)x + 2qrx + r .

Mamy zatem równość

x4 + ax3 + 12x2 + bx + 4 = p 2x4 + 2pqx 3 + (q2 + 2pr )x2 + 2qrx + r2.

Jeżeli popatrzymy na współczynnik przy x4 i na wyraz wolny to widzimy, że p = ± 1 i r = ± 2 . Żeby się nie pomylić rozważmy każdą z możliwych czterech sytuacji osobno.

Jeżeli (p,r) = (− 1,− 2) to mamy równość

x 4 + ax 3 + 1 2x2 + bx + 4 = x 4 − 2qx 3 + (q2 + 4 )x2 − 4qx + 4.

Tak sytuacja jest jednak niemożliwa, bo po porównaniu współczynników przy x 2 otrzymujemy q2 = 8 .

Jeżeli (p,r) = (− 1,2) to mamy równość

x 4 + ax 3 + 1 2x2 + bx + 4 = x 4 − 2qx 3 + (q2 − 4 )x2 + 4qx + 4.

Teraz porównanie współczynników przy 2 x daje q = ±4 . Daje to nam dwa możliwe rozwiązania: (a,b) = (8 ,−1 6) lub (a,b) = (−8 ,16) .

Jeżeli (p,r) = (1,− 2) to mamy równość

x 4 + ax 3 + 1 2x2 + bx + 4 = x 4 + 2qx 3 + (q2 − 4 )x2 − 4qx + 4.

Porównanie współczynników przy 2 x daje q = ± 4 . Daje to dokładnie te same rozwiązania co poprzednio: (a,b) = (− 8,16 ) lub (a,b) = (8 ,−1 6) .

Jeżeli wreszcie (p,r) = (1,2 ) to mamy równość

x 4 + ax 3 + 1 2x2 + bx + 4 = x 4 + 2qx 3 + (q2 + 4 )x2 + 4qx + 4.

Tak sytuacja jest jednak niemożliwa, bo po porównaniu współczynników przy x 2 otrzymujemy q2 = 8 .

Uwaga. Mogliśmy od razu zauważyć, że jeżeli 2 W (x) = [P(x )] to też 2 W (x) = [−P (x)] , więc mogliśmy zajmować się tylko przypadkiem p = 1 .  
Odpowiedź: (a,b) = (−8 ,16) lub (a,b) = (8,− 16)

Wersja PDF