Zadanie nr 7521255

Przedstaw wielomian 4 3 2 W (x) = x + 6x + 5x + 12x − 9 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i tak, aby współczynniki przy drugich potęgach były równe jeden.

Rozwiązanie

Sposób I

Szukamy rozkładu postaci

x 4 + 6x 3 + 5x2 + 12x − 9 = (x 2 + ax + b)(x2 + cx+ d) = = x4 + x3(a+ c)+ x2(b+ d+ ac)+ x (ad+ bc)+ bd.

Dwa wielomiany są równe jeżeli mają równe współczynnik przy odpowiadających potęgach . Otrzymujemy zatem układ równań

(| a+ c = 6 ||{ b+ d+ ac = 5 || ad + bc = 12 |( bd = − 9.

Rozwiązywanie tego układu równań byłoby bardzo nieprzyjemne, ale na szczęście wiemy, że liczby a,b ,c,d mają być liczbami całkowitymi. Ostatnie równanie daje nam 6 możliwości:

(b,d) ∈ {(9 ,−1 ), (3,− 3), (1,− 9), (− 1,9), (− 3,3), (−9 ,1)}.

Aby zmniejszyć liczbę możliwości, zauważmy, że ze względu na symetryczną rolę poszukiwanych wielomianów x2 + ax + b i x2 + cx + d , możemy założyć, że b ≥ d . Przy takim założeniu pozostają nam trzy pary.

(b,d) ∈ {(9,− 1 ), (3,− 3), (1,− 9)}.

Sprawdzamy teraz każdą z par, podstawiając do pozostałych równań układu.

Jeżeli (b,d) = (9,− 1) to mamy układ równań

( |{ a + c = 6 ac = −3 |( −a + 9c = 1 2

Jeżeli dodamy pierwsze i trzecie równanie stronami, to otrzymamy 10c = 1 8 , co jest niemożliwe (bo ma być liczbą całkowitą).

Jeżeli (b,d) = (3,− 3) to mamy układ równań

(| { a + c = 6 ac = 5 |( − 3a + 3c = 12. ( |{ a + c = 6 | ac = 5 ( −a + c = 4 .

Dodając pierwsze i trzecie równanie otrzymujemy 2c = 1 0 , czyli c = 5 . Wtedy a = 6− c = 1 . Widać, że liczby te spełniają też drugie równanie. Otrzymujemy więc w tym przypadku rozwiązanie (a,b,c,d) = (1 ,3 ,5,− 3) .