/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2018/Matura
Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 9 maja 2018 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Dane są liczby ,
,
,
oraz
. Prawdziwa jest równość
A) B)
C)
D)
Równanie
A) nie ma rozwiązań.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania.
D) ma dokładnie cztery rozwiązania.
Wartość wyrażenia jest równa
A) B) 0 C) 1 D) 2
Granica jest równa
A) B)
C) 0 D)
Zadania otwarte
Punkt jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem
, gdy
. Oblicz iloraz
.
Styczna do paraboli o równaniu w punkcie
jest nachylona do osi
pod kątem
. Oblicz współrzędne punktu
.
Trójkąt jest ostrokątny oraz
. Dwusieczna
kąta
przecina bok
w punkcie
. Punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
, punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
, a punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej i dla każdej liczby całkowitej
liczba
jest podzielna przez 6.
Z liczb ośmioelementowego zbioru tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru , gdzie
i
są promieniami podstaw (
), a
jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość
, a
. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa rozwiązania rzeczywiste
i
, spełniające warunek
.
Wyrazy ciągu geometrycznego , określonego dla
, spełniają układ równań
![{ a3 + a6 = − 84 a + a = 168 4 7](https://img.zadania.info/zes/0068129/HzesT67x.gif)
Wyznacz liczbę początkowych wyrazów tego ciągu, których suma
jest równa 32769.
Punkt jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego
, w którym
. Obie współrzędne wierzchołka
są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt
ma równanie
. Oblicz współrzędne wierzchołków
i
tego trójkąta.
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy i wysokości trapezu jest równa 2.
- Wyznacz wszystkie wartości
, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
- Wykaż, że obwód
takiego trapezu, jako funkcja długości
dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem
- Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.