Egzamin Maturalny
z Matematyki (stara formuła)
poziom rozszerzony 9 maja 2019 Czas pracy: 180 minut
Funkcja jest określona wzorem
, dla każdej liczby rzeczywistej
. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i
, takich że
, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej
, prawdziwa jest nierówność
.
Dany jest trójkąt równoramienny , w którym
. Na ramieniu
tego trójkąta wybrano punkt
(
i
), a na ramieniu
wybrano punkt
, w taki sposób, że
. Przez punkty
i
poprowadzono proste prostopadłe do podstawy
tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty
i
. Udowodnij, że
.
Ciąg jest geometryczny, ciąg
jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz
. Oblicz
.
Dane są okręgi o równaniach i
. Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.
Wielomian określony wzorem jest podzielny przez dwumian
oraz przy dzieleniu przez dwumian
daje resztę 6. Oblicz
oraz pierwiastki wielomianu
dla wyznaczonej wartości
.
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Punkt leży na boku
trójkąta
oraz
,
,
i
. Oblicz obwód trójkąta
.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja kwadratowa
określona wzorem
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek
.
Ze zbioru losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt
, którego boki mają długości
i
. Ściany boczne
i
są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem
. Ściany boczne
i
są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Miary kątów
i
spełniają warunek:
. Oblicz
oraz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.