/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2019

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 7 maja 2019 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba log √-2 2 jest równa
A) 2 B) 4 C) √ -- 2 D) 12

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba naturalna n = 214 ⋅515 w zapisie dziesiętnym ma
A) 14 cyfr B) 15 cyfr C) 16 cyfr D) 30 cyfr

Zadanie 3
(1 pkt)

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
A) 1% B) 25% C) 33% D) 75%

Zadanie 4
(1 pkt)

Równość 1 1 1 4 + 5 + a = 1 jest prawdziwa dla
A) a = 11- 20 B) a = 8 9 C) 9 a = 8 D) 20 a = 11

Zadanie 5
(1 pkt)

Para liczb x = 2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań { ax + y = 4 − 2x + 3y = 2a dla
A) a = − 1 B) a = 1 C) a = − 2 D) a = 2

Zadanie 6
(1 pkt)

Równanie (x− 1)(x+ 2) ---x−3----= 0
A) ma trzy różne rozwiązania: x = 1, x = 3, x = − 2 .
B) ma trzy różne rozwiązania: x = − 1, x = − 3, x = 2 .
C) ma dwa różne rozwiązania: x = 1, x = − 2 .
D) ma dwa różne rozwiązania: x = − 1, x = 2 .

Zadanie 7
(1 pkt)

Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem √ -- f (x) = 3(x + 1) − 6 3 jest liczba
A) 3 − 6√ 3- B) 1− 6√ 3- C) √ -- 2 3 − 1 D) √ -- 1 2 3 − 3

Informacja do zadań 8 – 10

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2 ,− 4 ) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f .

PIC
Zadanie 8
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) (− ∞ ,0⟩ B) ⟨0,4⟩ C) ⟨− 4,+ ∞ ) D) ⟨4,+ ∞ ⟩

Zadanie 9
(1 pkt)

Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨1 ,4⟩ jest równa
A) − 3 B) − 4 C) 4 D) 0

Zadanie 10
(1 pkt)

Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
A) y = − 4 B) x = − 4 C) y = 2 D) x = 2

Zadanie 11
(1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , dane są dwa wyrazy: a1 = 7 oraz a8 = − 49 . Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A) − 168 B) − 189 C) − 21 D) − 42

Zadanie 12
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla n ≥ 1 . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a5 = 1 a3 9 . Iloraz tego ciągu jest równy
A) 1 3 B) √1- 3 C) 3 D) √ -- 3

Zadanie 13
(1 pkt)

Sinus kąta ostrego α jest równy 4 5 . Wtedy
A) 5 cosα = 4 B) 1 co sα = 5 C) co sα = 925- D) co sα = 35

Zadanie 14
(1 pkt)

Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α .

PIC

Zatem
A) α = 30∘ B) α < 30∘ C) α > 4 5∘ D) α = 45∘

Zadanie 15
(1 pkt)

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B . Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).

PIC

Wtedy
A) |OK | = 6 B) |OK | = 8 C) |OK | = 10 D) |OK | = 12

Zadanie 16
(1 pkt)

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150 ∘ . Pole tego rombu jest równe
A) 8 B) 12 C) √ -- 8 3 D) 16

Zadanie 17
(1 pkt)

Proste o równaniach y = (2m + 2 )x− 2019 i y = (3m − 3)x + 2 019 są równoległe, gdy
A) m = − 1 B) m = 0 C) m = 1 D) m = 5

Zadanie 18
(1 pkt)

Prosta o równaniu y = ax+ b jest prostopadła do prostej o równaniu y = − 4x + 1 i przechodzi przez punkt (1 ) P = 2 ,0 , gdy
A) a = − 4 i b = − 2 B) a = 1 4 i b = − 1 8
C) a = − 4 i b = 2 D) 1 a = 4 i 1 b = 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f . Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (0,4 ) i B = (2,2) .

PIC

Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem
A) g(x ) = x+ 4 B) g(x ) = x− 4 C) g(x) = −x − 4 D) g (x) = −x + 4

Zadanie 20
(1 pkt)

Dane są punkty o współrzędnych A = (− 2,5 ) oraz B = (4,− 1) . Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa
A) 12 B) 6 C) √ -- 6 2 D) √ -- 2 6

Zadanie 21
(1 pkt)

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek).

PIC

Przekątna KL tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,01 dm – równa
A) 5,83 dm B) 6,16 dm C) 3,61 dm D) 5,39 dm

Zadanie 22
(1 pkt)

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
A) 8 B) 4 C) 16 D) 12

Zadanie 23
(1 pkt)

Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4,8,2 1,a,16,25 jest równa 14. Zatem
A) a = 7 B) a = 12 C) a = 14 D) a = 20

Zadanie 24
(1 pkt)

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
A) 12 B) 36 C) 162 D) 243

Zadanie 25
(1 pkt)

W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
A) 18 B) 15 C) 410 D) -1 35

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 3 2 (x − 8)(x − 4x − 5) = 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 3x 2 − 1 6x+ 16 > 0 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

3a2 − 2ab + 3b2 ≥ 0.

Zadanie 29
(2 pkt)

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r . Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α , to miara kąta ASD jest równa 3α .

PIC

Zadanie 30
(2 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Zadanie 31
(2 pkt)

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30 ∘ (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

PIC

Zadanie 32
(4 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Różnicą tego ciągu jest liczba r = − 4 , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , jest równa 16.

  • Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
  • Oblicz liczbę k , dla której ak = − 78 .

Zadanie 33
(4 pkt)

Dany jest punkt A = (− 18,1 0) . Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB . Wyznacz współrzędne punktu B .

Zadanie 34
(5 pkt)

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α .

PIC

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania