/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2019

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony
(stara formuła) 4 czerwca 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(5 pkt)

Funkcja jest określona wzorem |x+2| x+-2- f(x ) = x−1 − |x− 1| + 3 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 . Wyznacz zbiór jej wartości.

Zadanie 2

(3 pkt)

Dwusieczne kątów BAD i BCD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie , przy czym punkty i leżą po przeciwnych stronach prostej (zobacz rysunek).

Wykaż, że |∡ABC |− |∡ADC |+ 2 ⋅|∡AEC | = 3 60∘ .

Zadanie 3

(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej wyrażenie n5 − 3n4 − n + 19 jest podzielne przez 16.

Zadanie 4

(4 pkt)

W ciągu geometrycznym (a1,a2,a3,a4,a5,a6) suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 182, a stosunek sumy wyrazów o numerach nieparzystych do sumy wyrazów o numerach parzystych jest równy 1 3 . Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Zadanie 5

(6 pkt)

Punkt A = (− 2,6 ) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna zawiera się w prostej o równaniu 2x − y − 5 = 0 . Wyznacz długość boku tego rombu.

Zadanie 6

(5 pkt)

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność

∘ ------------- x2 − 8x+ 16− 3x < |2x − 4|.

Zadanie 7

(4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 sin 2x = 2cos2 x należące do przedziału (0,2π ) .

Zadanie 8

(4 pkt)

Miara kąta wewnętrznego –kąta foremnego jest o mniejsza od miary kąta wewnętrznego (n + 2) – kąta foremnego. Oblicz .

Zadanie 9

(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

4x2 + (2− 4m )x+ m 2 − m − 2 = 0

ma dwa różne dodatnie rozwiązania x1,x2 spełniające nierówność 2 2 17 x1 + x 2 ≤ 4 .

Zadanie 10

(4 pkt)

W urnie jest dziesięć kul różniących się wyłącznie kolorem: 4 czarne, 3 białe, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że przynajmniej dwie z wylosowanych kul mają ten sam kolor.

Zadanie 11

(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6. Na krawędziach bocznych i wybrano punkty, odpowiednio i , takie że |BD | = |CE | oraz |DE | = 4 (zobacz rysunek). Płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej BCS ostrosłupa.