Zadanie nr 1841352
W urnie znajduje się dwa razy więcej kul białych niż czarnych. Losujemy z urny jednocześnie dwie kule. Prawdopodobieństwo wylosowania obu kul białych jest równe . Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów.
Rozwiązanie
Oznaczmy liczbę kul czarnych przez . W takim razie jest
kul białych. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy dwuelementowe zbiory wylosowanych kul, czyli
![( ) 3n 3n-(3n−--1) |Ω | = 2 = 2 .](https://img.zadania.info/zad/1841352/HzadR2x.gif)
Dwie kule białe możemy wybrać na
![( ) 2n 2n-(2n−--1) 2 = 2](https://img.zadania.info/zad/1841352/HzadR3x.gif)
sposoby. W takim razie podane prawdopodobieństwo prowadzi do równania
![2n(2n−1) -----2-----= -7- = 3n(3n−-1)- 16 2 2(2n-−-1)- -7- 3(3n − 1) = 16 32(2n − 1) = 21(3n − 1) 64n − 32 = 63n − 21 n = 11 .](https://img.zadania.info/zad/1841352/HzadR4x.gif)
Dwie kule w różnych kolorach możemy wybrać na
![11 ⋅22](https://img.zadania.info/zad/1841352/HzadR5x.gif)
sposoby (wybieramy jedną kulę białą i jedną kulę czarną), więc interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe
![11 ⋅22 11⋅ 22 11 11 -------- = -------= ---- = ---. 3n(3n2−1) 33⋅ 16 3 ⋅8 24](https://img.zadania.info/zad/1841352/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: