/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Urna

Zadanie nr 2527006

W urnie jest pewna liczba kul białych i pewna liczba kul czarnych – razem 9 kul. Ile jest kul białych w urnie, jeśli wiadomo, że przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul z tej urny prawdopodobieństwo otrzymania kul tego samego koloru jest równe prawdopodobieństwu otrzymania kul różnych kolorów?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Powiedzmy, że jest n kul białych i 9 − n czarnych. Przyjmijmy, że zdarzenia elementarne to nieuporządkowane pary wylosowanych kul. Zatem

( ) |Ω | = 9 = 9-⋅8 = 3 6. 2 2

Tak naprawdę, powyższy rachunek nie będzie nam potrzebny, bo mamy tylko porównywać prawdopodobieństwa, a one oba mają ten sam mianownik.

Możliwości wylosowania dwóch kul tego samego koloru jest

(n ) ( 9− n) n (n− 1) (9 − n)(8 − n ) + = --------- + ---------------, 2 2 2 2

(obie są czarne lub obie są białe), a możliwości wylosowania dwóch kul w różnych kolorach jest

n⋅ (9− n ),

(jedna jest czarna, druga biała). Mamy zatem równanie

n(n − 1) (9− n)(8 − n) ---------+ ---------------= n⋅ (9− n ) / ⋅2 2 2 n2 − n + 72 − 17n + n 2 = 18n − 2n 2 2 4n − 36n + 72 = 0 n2 − 9n + 18 = 0 Δ = 8 1− 72 = 9 n = 3 ∨ n = 6.

 
Odpowiedź: n = 3 lub n = 6

Wersja PDF