/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Urna

Zadanie nr 2889593

W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 13 kul czarnych. W drugiej urnie znajduje się 17 kul białych i 26 kul czarnych. Ile kul białych należy przełożyć z drugiej urny do pierwszej, aby wylosowanie kuli białej z obu urn było jednakowo prawdopodobne?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli prawdopodobieństwa wybrania białej kuli w obu urnach mają być takie same, to stosunek liczby kul białych do czarnych musi być taki sam w obu urnach. W drugiej urnie jest dwa razy więcej kul czarnych niż w pierwszej urnie, więc tak samo musi być z kulami białymi. Taka sytuacja będzie miała miejsce, gdy przełożymy trzy białe kule z drugiej urny do pierwszej – wtedy w pierwszej urnie będzie 7, a w drugiej 14 białych kul. Prawdopodobieństwa są wtedy odpowiednio równe

---7---= -7- 7 + 13 20 ---14--- 14- -7- 14 + 26 = 40 = 20 .

Sposób II

Jeżeli przełożymy n kul białych z drugiej urny do pierwszej, to opisana w treści zadania równość prawdopodobieństw sprowadza się do równania

4 + n 17 − n ----------- = ------------ 4 + n + 13 1 7− n+ 26 -4-+-n- = 1-7−--n 1 7+ n 4 3− n (4 + n )(43− n) = (17 − n )(17+ n) 172 − 4n + 43n − n2 = 289 − n 2 117 3 9n = 117 ⇒ n = ----= 3 . 39

Musimy więc przełożyć trzy białe kule z drugiej urny do pierwszej.  
Odpowiedź: Należy przełożyć trzy kule białe.

Wersja PDF