/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Urna

Zadanie nr 3518289

Liczby kul białych, niebieskich i czerwonych tworzą - w podanej kolejności - ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Spośród tych kul losujemy jednocześnie trzy. Prawdopodobieństwo wylosowania trzech kul, z których każda jest innego koloru wynosi 3- 13 . Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania z tej urny trzech kul, wśród których dwie są tego samego koloru, jeśli wiadomo, że liczba wszystkich kul w urnie jest nieparzysta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z podanych informacji wiemy, że liczby kul białych, niebieskich i czerwonych są równe, n − 2,n,n + 2 . Ponadto suma 3n tych liczb ma być nieparzysta, czyli n jest nieparzyste. Trzy kule z urny możemy wybrać na

( ) 3n 3n-(3n−--1)(3n-−-2)- n(3n-−-1-)(3n-−-2)- |Ω | = 3 = 2⋅3 = 2 .

Zdarzeń, w których każda kula ma inny kolor jest

(n − 2)n (n+ 2)

(wybieramy po jednej kuli każdego koloru). Mamy zatem równanie

(n − 2)n(n + 2) 3 -n(3n−1)(3n−-2)--= 13- ------2------ (n− 2)(n + 2) 3 -----------------= --- (3n − 1)(3n − 2) 26 26 (n2 − 4) = 3(9n 2 − 9n + 2) 2 2 26n − 104 = 27n − 27n + 6 n 2 − 27n + 110 = 0 Δ = 729 − 44 0 = 289 = 1 72 n = 5 ∨ n = 22.

Ponieważ n ma być nieparzyste, n = 5 i

|Ω | = n(3n-−-1-)(3n−--2)-= 5⋅14-⋅13-= 5⋅ 7⋅1 3 = 455. 2 2

Policzmy teraz ile jest zdarzeń z dwoma kulami tego samego koloru. Przypomnijmy, że kul mamy odpowiednio 3,5,7. Mamy więc

( ) ( ) ( ) 3 ⋅1 2+ 5 ⋅10 + 7 ⋅8 = 2 2 2 3⋅2 5⋅4 7⋅6 = ----⋅1 2+ ----⋅1 0+ ----⋅8 = 36 + 100 + 168 = 304. 2 2 2

zdarzeń sprzyjających. Zatem prawdopodobieństwo wynosi

30 4 P = ----. 45 5

 
Odpowiedź: 304 455

Wersja PDF