Zadanie nr 4123113
W każdej z czterech urn są 24 kule, w tym dokładnie białych. Z każdej urny losujemy jedną kulę. Dla jakiej wartości
prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch kul białych jest największe? Oblicz to największe prawdopodobieństwo.
Rozwiązanie
Jest

zdarzeń elementarnych – z każdej z 4 urn losujemy jedną z 24 kul.
Zdarzeń sprzyjających jest

(wybieramy dwie urny z białymi kulami, potem z każdej z tych dwóch urn wybieramy jedną z kul białych, a na koniec z każdej z dwóch pozostałych urn wybieramy kulę, która nie jest biała). Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

Wystarczy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość wyrażenia

Żeby móc korzystać z pochodnej, traktujemy to wyrażenie jak funkcję o dziedzinie . Liczymy pochodną

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie

Pochodna jest więc równa

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. W takim razie interesujące nas prawdopodobieństwo jest największe dla
. Jest ono wtedy równe

Odpowiedź: ,