Zadanie nr 5689265

W urnie jest 2 razy więcej kul czarnych niż białych i 3 razy więcej kul zielonych niż białych. Przy losowaniu 3 kul z tej urny prawdopodobieństwo wylosowania 3 kul różnych kolorów wynosi 21736 . Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania z urny 3 kul, wśród których dokładnie 2 będą tego samego koloru.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy nieuporządkowane trójki wylosowanych kul. Oznaczmy liczbę kul białych przez . Wtedy kul czarnych jest a kul zielonych . Mamy zatem

( ) 6n 6n-(6n-−-1)(6n-−-2-) |Ω | = 3 = 6 = n(6n − 1 )(6n − 2).

Zdarzeń, w których wylosowane kule są różne jest

( ) ( ) ( ) n 2n 3n 3 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = n ⋅(2n )⋅(3n ) = 6n .

Mamy zatem

27 6n 3 ----= ------------------- / : 3 136 n(6n − 1)(6n − 2) -9-- -------n-2------- 136 = (6n − 1)(3n − 1) 9(18n 2 − 9n + 1) = 136n 2 2 26n − 81n + 9 = 0.

Stąd 2 Δ = 6561 − 936 = 5625 = 7 5 i jedyne całkowite rozwiązanie to n = 3 .

Możemy teraz policzyć szukane prawdopodobieństwo. Zdarzenia sprzyjające są trzech typów – w zależności od tego jaki jest kolor dwóch identycznych kul. Wszystkich zdarzeń sprzyjających jest