Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5689265

W urnie jest 2 razy więcej kul czarnych niż białych i 3 razy więcej kul zielonych niż białych. Przy losowaniu 3 kul z tej urny prawdopodobieństwo wylosowania 3 kul różnych kolorów wynosi 21736 . Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania z urny 3 kul, wśród których dokładnie 2 będą tego samego koloru.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy nieuporządkowane trójki wylosowanych kul. Oznaczmy liczbę kul białych przez n . Wtedy kul czarnych jest 2n a kul zielonych 3n . Mamy zatem

 ( ) 6n 6n-(6n-−-1)(6n-−-2-) |Ω | = 3 = 6 = n(6n − 1 )(6n − 2).

Zdarzeń, w których wylosowane kule są różne jest

( ) ( ) ( ) n 2n 3n 3 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = n ⋅(2n )⋅(3n ) = 6n .

Mamy zatem

 27 6n 3 ----= ------------------- / : 3 136 n(6n − 1)(6n − 2) -9-- -------n-2------- 136 = (6n − 1)(3n − 1) 9(18n 2 − 9n + 1) = 136n 2 2 26n − 81n + 9 = 0.

Stąd  2 Δ = 6561 − 936 = 5625 = 7 5 i jedyne całkowite rozwiązanie to n = 3 .

Możemy teraz policzyć szukane prawdopodobieństwo. Zdarzenia sprzyjające są trzech typów – w zależności od tego jaki jest kolor dwóch identycznych kul. Wszystkich zdarzeń sprzyjających jest

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = 3 ⋅ 15 + 6 ⋅ 12 + 9 ⋅ 9 = 2 1 2 1 2 1 = 3⋅ 15+ 15⋅ 12+ 36⋅ 9 = 9(5 + 20 + 36) = 9 ⋅61 .

Mamy ponadto

|Ω | = n (6n− 1)(6n − 2) = 3 ⋅17 ⋅16 = 3⋅27 2.

Stąd

 9⋅6 1 3⋅ 61 183 P = -------= ------= ---. 3 ⋅272 272 272

 
Odpowiedź: 183 272

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!