/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Urna

Zadanie nr 5797431

W urnie jest dziesięć kul różniących się wyłącznie kolorem: 4 czarne, 3 białe, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że przynajmniej dwie z wylosowanych kul mają ten sam kolor.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Trzy kule możemy wyjąć z urny na

(1 0) 10 ⋅9⋅ 8 10 ⋅9 ⋅8 = -------- = -------- = 5⋅3 ⋅8 3 3! 6

sposobów.

Sposób I

Zamiast zajmować się zdarzeniem, w którym co najmniej dwie wylosowane kule są tego samego koloru, zajmujemy się zdarzeniem przeciwnym, w którym trzy wylosowane kule są w różnych kolorach. Takich zdarzeń jest

4⋅ 3⋅2 + 4 ⋅3 ⋅1+ 4⋅2 ⋅1 + 3 ⋅2⋅ 1 = 50

(są cztery przypadki w zależności od tego, którego koloru brakuje). Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

1− --50---= 1− -5-- = 1 − -5- = -7-. 5⋅3 ⋅8 3 ⋅4 1 2 12

Sposób II

Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających. Jest

( ) ( ) 4 3 + = 4+ 1 = 5 3 3

zdarzeń, w których wszystkie 3 kule są w tym samym kolorze. Ponadto jest

( ) ( ) ( ) 4 ⋅(3 + 2 + 1) + 3 ⋅(4 + 2 + 1) + 2 ⋅(4 + 3 + 1) = 2 2 2 6⋅ 6+ 3⋅7 + 8 = 65

zdarzeń, w których są dokładnie dwie kule w jednym kolorze. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

-5+--65 1+--13- 7-- 5 ⋅3 ⋅8 = 3⋅ 8 = 12.

 
Odpowiedź: -7 12

Wersja PDF