Zadanie nr 5797431
W urnie jest dziesięć kul różniących się wyłącznie kolorem: 4 czarne, 3 białe, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że przynajmniej dwie z wylosowanych kul mają ten sam kolor.
Rozwiązanie
Trzy kule możemy wyjąć z urny na
![(1 0) 10 ⋅9⋅ 8 10 ⋅9 ⋅8 = -------- = -------- = 5⋅3 ⋅8 3 3! 6](https://img.zadania.info/zad/5797431/HzadR0x.gif)
sposobów.
Sposób I
Zamiast zajmować się zdarzeniem, w którym co najmniej dwie wylosowane kule są tego samego koloru, zajmujemy się zdarzeniem przeciwnym, w którym trzy wylosowane kule są w różnych kolorach. Takich zdarzeń jest
![4⋅ 3⋅2 + 4 ⋅3 ⋅1+ 4⋅2 ⋅1 + 3 ⋅2⋅ 1 = 50](https://img.zadania.info/zad/5797431/HzadR1x.gif)
(są cztery przypadki w zależności od tego, którego koloru brakuje). Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe
![1− --50---= 1− -5-- = 1 − -5- = -7-. 5⋅3 ⋅8 3 ⋅4 1 2 12](https://img.zadania.info/zad/5797431/HzadR2x.gif)
Sposób II
Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających. Jest
![( ) ( ) 4 3 + = 4+ 1 = 5 3 3](https://img.zadania.info/zad/5797431/HzadR3x.gif)
zdarzeń, w których wszystkie 3 kule są w tym samym kolorze. Ponadto jest
![( ) ( ) ( ) 4 ⋅(3 + 2 + 1) + 3 ⋅(4 + 2 + 1) + 2 ⋅(4 + 3 + 1) = 2 2 2 6⋅ 6+ 3⋅7 + 8 = 65](https://img.zadania.info/zad/5797431/HzadR4x.gif)
zdarzeń, w których są dokładnie dwie kule w jednym kolorze. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe
![-5+--65 1+--13- 7-- 5 ⋅3 ⋅8 = 3⋅ 8 = 12.](https://img.zadania.info/zad/5797431/HzadR5x.gif)
Odpowiedź: