Zadanie nr 5854230

W urnie są 3 kule białe, 4 czarne i 5 zielonych. Losujemy ze zwracaniem 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul będą kule biała i czarna.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy uporządkowane trójki wylosowanych kul, to mamy

|Ω | = 12 ⋅12 ⋅12.

Spróbujmy teraz dokładnie policzyć ilość zdarzeń sprzyjających.

Sposób I

Jeżeli pierwsza z wylosowanych kul jest zielona, to pozostałe dwie muszą być białą i czarną. Takich zdarzeń mamy

5 ⋅3⋅4 + 5 ⋅4 ⋅3 = 12 ⋅10.

Jeżeli pierwsza z wylosowanych kul jest biała, to wśród pozostałych dwóch musi być czarna. Licząc osobno zdarzenia z kulą czarną i zieloną, czarną i białą i z dwoma czarnymi takich zdarzeń jest

(3⋅4 ⋅5 + 3 ⋅5⋅4 )+ (3 ⋅4 ⋅3+ 3⋅ 3⋅4) + 3 ⋅4 ⋅4 = = 12⋅ (5+ 5+ 3 + 3 + 4) = 12⋅ 20.

Jeżeli pierwsza z wylosowanych kul jest czarna, to wśród pozostałych dwóch musi być biała. Licząc osobno zdarzenia z kulą białą i zieloną, białą i czarną i z dwoma białymi takich zdarzeń jest

(4⋅3 ⋅5 + 4 ⋅5⋅3 )+ (4 ⋅3 ⋅4+ 4⋅ 4⋅3) + 4 ⋅3 ⋅3 = = 12⋅ (5+ 5+ 4 + 4 + 3) = 12⋅ 21.

Zatem prawdopodobieństwo wynosi

1-2⋅10-+-1-2⋅20-+-1-2⋅21- 10-+-20-+-21- -51- 17- P = 1 2⋅12 ⋅12 = 12 ⋅12 = 14 4 = 48 .

Sposób II

Przyjmijmy taką samą przestrzeń zdarzeń elementarnych, ale tym razem policzmy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tzn. policzmy ile jest takich zdarzeń, w których nie ma kuli białej lub czarnej. Zdarzeń bez kuli białej jest