Zadanie nr 5854230
W urnie są 3 kule białe, 4 czarne i 5 zielonych. Losujemy ze zwracaniem 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul będą kule biała i czarna.
Rozwiązanie
Jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy uporządkowane trójki wylosowanych kul, to mamy
![|Ω | = 12 ⋅12 ⋅12.](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR0x.gif)
Spróbujmy teraz dokładnie policzyć ilość zdarzeń sprzyjających.
Sposób I
Jeżeli pierwsza z wylosowanych kul jest zielona, to pozostałe dwie muszą być białą i czarną. Takich zdarzeń mamy
![5 ⋅3⋅4 + 5 ⋅4 ⋅3 = 12 ⋅10.](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR1x.gif)
Jeżeli pierwsza z wylosowanych kul jest biała, to wśród pozostałych dwóch musi być czarna. Licząc osobno zdarzenia z kulą czarną i zieloną, czarną i białą i z dwoma czarnymi takich zdarzeń jest
![(3⋅4 ⋅5 + 3 ⋅5⋅4 )+ (3 ⋅4 ⋅3+ 3⋅ 3⋅4) + 3 ⋅4 ⋅4 = = 12⋅ (5+ 5+ 3 + 3 + 4) = 12⋅ 20.](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR2x.gif)
Jeżeli pierwsza z wylosowanych kul jest czarna, to wśród pozostałych dwóch musi być biała. Licząc osobno zdarzenia z kulą białą i zieloną, białą i czarną i z dwoma białymi takich zdarzeń jest
![(4⋅3 ⋅5 + 4 ⋅5⋅3 )+ (4 ⋅3 ⋅4+ 4⋅ 4⋅3) + 4 ⋅3 ⋅3 = = 12⋅ (5+ 5+ 4 + 4 + 3) = 12⋅ 21.](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR3x.gif)
Zatem prawdopodobieństwo wynosi
![1-2⋅10-+-1-2⋅20-+-1-2⋅21- 10-+-20-+-21- -51- 17- P = 1 2⋅12 ⋅12 = 12 ⋅12 = 14 4 = 48 .](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR4x.gif)
Sposób II
Przyjmijmy taką samą przestrzeń zdarzeń elementarnych, ale tym razem policzmy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tzn. policzmy ile jest takich zdarzeń, w których nie ma kuli białej lub czarnej. Zdarzeń bez kuli białej jest
![9⋅9 ⋅9](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR5x.gif)
a zdarzeń bez kuli czarnej jest
![8 ⋅8 ⋅8.](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR6x.gif)
Jest w tym jednak mały haczyk, bo zdarzenia składające się z samych kul zielonych policzyliśmy podwójnie, musimy je więc odjąć. Jest ich
![5⋅5 ⋅5](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR7x.gif)
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi
![′ 93 +-83 −-53 1-116 93-- P(A ) = 12 3 = 123 = 144](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR8x.gif)
Zatem
![P (A) = 1 − P (A ′) = 51--= 17. 144 48](https://img.zadania.info/zad/5854230/HzadR9x.gif)
Odpowiedź: