/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Urna

Zadanie nr 7386315

W urnie znajdują się kule czarne, białe i niebieskie, przy czym są co najmniej dwie kule każdego koloru i w sumie jest 15 kul. Losujemy z urny trzy kule. Rozważmy następujące zdarzenia
A – wylosowano trzy kule tego samego koloru;
B – żadne dwie z wylosowanych kul nie są tego samego koloru.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe 133 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

W rozwiązaniu będziemy kilka razy liczyć symbol Newtona n (3) , więc od razu ustalmy, że jest on równy

( ) n = ----n-!--- = n(n-−-1)(n-−-2-) 3 (n − 3 )!3! 6

(skraca się (n − 3)! ).

Oznaczmy liczby kul każdego z kolorów przez c,b i n odpowiednio. Trzy kule możemy wybrać na

( ) 15 15 ⋅14 ⋅13 |Ω | = = -----------= 5⋅7 ⋅13 3 2 ⋅3

sposobów.

Zastanówmy się teraz nad zdarzeniem B . Ile jest trójek, w których każda kula ma inny kolor? – jest ich c ⋅b⋅ n . Mamy więc równanie

-c⋅b-⋅n- = P (B) = 3-- 5 ⋅7⋅ 13 13 c⋅b ⋅n = 3⋅5 ⋅7.

Teraz musimy skorzystać z faktu, że są co najmniej dwie kule każdego koloru, czyli c,b,n ≥ 2 . Prawą stronę powyższej równości można napisać dokładnie w jeden sposób jako iloczyn trzech liczb całkowitych większych od 1, więc liczby c,b,n muszą być równe 3,5,7 (w pewnej kolejności). Mówiąc jeszcze inaczej, ile może być równe c ? – musi dzielić prawą stronę i nie może być iloczynem dwóch z wypisanych tam liczb, bo wtedy nie da się dobrać b i n , zatem c musi być jedną z liczb 3,5,7. Podobnie z pozostałymi liczbami.

Zobaczmy teraz co mamy policzyć. Jeżeli kule mają być tego samego koloru, to mogą być wszystkie czarne, wszystkie białe lub wszystkie niebieskie. W sumie jest więc

( ) ( ) ( ) c + b + n 3 3 3

takich układów. Wprawdzie nie wiemy dokładnie, która z liczb c,b,n jest równa 3, która 5, a która 7, ale przy obliczaniu powyższego wyrażenia nie ma to znaczenia – w każdej konfiguracji wyjdzie dokładnie ten sam wynik:

( 3) ( 5) (7 ) 5⋅4 ⋅3 7⋅6 ⋅5 + + = 1+ -------+ -------= 1+ 10+ 35 = 46. 3 3 3 6 6

Zatem szukane prawdopodobieństwo jest równe

---46--- 4-6- P(A ) = 5 ⋅7 ⋅13 = 455 .

 
Odpowiedź: -46 455

Wersja PDF