Zadanie nr 8270845
Z urny, w której znajduje się 20 kul białych i 2 czarne losujemy kul. Znajdź najmniejszą wartość
, taką przy której prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej jednej kuli czarnej jest większe od
.
Rozwiązanie
Łatwiejsze do policzenia jest zdarzenie przeciwne: – wszystkie wylosowane kule są białe. Musimy sprawdzić, kiedy prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest nie większe niż
. Liczymy
![(20) n!(2200!−n)! 20! (22− n)! (22 − n )(21− n) P (A′) = -2n2- = ---22!----= ---⋅ ---------= -----------------. ( n) n!(22−n)! 22! (20− n)! 21⋅2 2](https://img.zadania.info/zad/8270845/HzadR2x.gif)
Mamy zatem nierówność
![(22− n)(21 − n) 1 -----------------≤ -- 21 ⋅22 2 (22 − n )(21− n) ≤ 21 ⋅11 = 231.](https://img.zadania.info/zad/8270845/HzadR3x.gif)
Najmniejsze rozwiązanie tej nierówności najłatwiej jest zgadnąć wstawiając kolejne wartosci , Ponieważ
![15 ⋅14 = 2 10 < 231 < 240 = 16 ⋅15,](https://img.zadania.info/zad/8270845/HzadR5x.gif)
najmniejszą wartością jest .
Odpowiedź: