/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Urna

Zadanie nr 9178105

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Co czwarta kula w urnie to biała, pozostałe mają kolor czarny lub niebieski. Losujemy jedna kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej lub białej jest dwukrotnie mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej lub czarnej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez B,N i C prawdopodobieństwa wylosowania kuli białej, niebieskiej i czarnej odpowiednio. Z podanych danych wiemy, że

( |{ P (B) = 14 |( P (B) + P (N ) + P (C) = 1 P (N ∪ B ) = 12P (N ∪ C ).

Druga równość wynika z tego, że w urnie nie ma innych kul niż białe, niebieskie i czarne. Ponadto

P (N ∪ B ) = P (N )+ P (B) − P (N ∩ B ) = P(N ) + P(B ).

Podobnie

P(N ∪ C) = P (N )+ P(C ).

O równościach tego typu najlepiej jest sobie mysleć w kategoriach zdarzeń sprzyjających: P (X ) - mierzy ilość zdarzeń sprzyjających X , zatem P(X ∪ Y) i P(X ∩ Y ) mierzą ilość darzeń sprzyającym X lub Y oraz X i Y odpowiednio.

Mamy zatem układ równań

{ 1 4 + P (N )+ P(C ) = 1 P (N )+ 14 = 12P (N )+ 12P(C ). { P (N ) = 34 − P(C ) 1 P(N )+ 1 = 1P(C ). 2 4 2

Otrzymujemy stąd

3 1 1 1 -− -P (C) + --= --P(C ) 8 2 4 2 P (C) = 3-+ 1-= 5. 8 4 8

 
Odpowiedź: 5 8

Wersja PDF