Zadanie nr 9219208

Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy trójelementowe zbiory otrzymanych liczb, więc

( ) |Ω | = 10 = 10-⋅9-⋅8 = 10 ⋅3 ⋅4. 3 3!

Sposób I

Wypisujemy wszystkie zdarzenia sprzyjające.

Suma=3: {1 ,2 } Suma=4: {1 ,3 } Suma=5: {1 ,4 },{2,3} Suma=6: {1 ,5 },{2,4} Suma=7: {1 ,6 },{2,5} ,{3,4}, Suma=8: {1 ,7 },{2,6} ,{3,5}, Suma=9: {1 ,8 },{2,7} ,{3,6},{4 ,5}, Suma=10: {1 ,9 },{2,8} ,{3,7},{4 ,6}.

Jest więc

1+ 1+ 2+ 2+ 3+ 3+ 4+ 4 = 20

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe

2 0 1 1 10⋅-3⋅4-= 3-⋅2 = 6.

Sposób II

Powiedzmy, że a < b < c są trzema liczbami spełniającymi warunki zadania, tzn. c = a + b . Zauważmy, że po wybraniu i dla nie ma żadnego wyboru, więc wystarczy policzyć na ile sposobów możemy wybrać i . Wypiszmy możliwe wybory dla i .