Zadanie nr 9479341

W urnie znajduje się losów, przy czym z nich to losy wygrywające ( M ≤ N ). Wybieramy losowo losów z urny ( n ≤ N ) i niech oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie spośród tych losów to losy wygrywające ( m ≤ M oraz m ≤ n ). Uzasadnij, że

(n )⋅(N −n ) p = -m---NM-−m--. (M )

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro losujemy spośród losów to

( ) |Ω | = N . n

Policzmy teraz ile jest zdarzeń sprzyjających.

Mamy mieć losów wygrywających – możemy je wybrać na

( ) M m

sposobów. Pozostałe n − m losów musimy wybrać spośród losów przegrywających, co możemy zrobić na

(N − M ) n − m

sposobów. W sumie jest więc

( ) ( ) M ⋅ N − M m n− m

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo wynosi

M N −M p = (m-)⋅(-n−m-). (N ) n

No i fajnie, ale nie wygląda to jak wynik, który mieliśmy uzyskać. Żeby zobaczyć, że to jednak jest to samo, obliczmy oba ilorazy.

M N −M ---M-!--- -----(N−M--)!------ (m-)⋅(-n−m-) m!(M−m-)! ⋅-(n−m-)!(N-−M-−n+m-)! (N ) = ---N-!-- = n n!(N−n )! M !(N − M )!n!(N − n)! = m-!(M-−--m-)!(n-−-m-)!(N-−--M-−--n+--m-)!N-! (n) ⋅(N −n) ---n!--- ⋅------(N-−n)!------ -m----M-−m--= m-!(n−m-)!--(M-−m)!(N-−n−M-+m-)! = (NM ) M-!(NN−!M--)! = ---------n-!(N--−-n)!M-!(N-−--M-)!--------- m !(n− m )!(M − m )!(N − n− M + m )!N !

Widać teraz, że rzeczywiście jest to sama liczba napisana na dwa różne sposoby.

Sposób II

Tym razem policzymy prawdopodobieństwo w trochę nietypowy sposób, dzięki czemu od razu otrzymamy wynik w postaci z treści zadania.

Zamiast myśleć o losowaniu losów z urny, możemy myśleć inaczej: ustalamy spośród losów, a potem losujemy, które spośród wszystkich losów będą wygrywające. Przy takim podejściu mamy

(N ) |Ω | = M

(wybieramy, które losy są wygrywające).

Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające, tzn. takie zdarzenia, że dokładnie spośród naszych ustalonych losów jest wygrywających. Te losów wygrywających możemy wybrać na