Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9479341

W urnie znajduje się N losów, przy czym M z nich to losy wygrywające (M ≤ N ). Wybieramy losowo n losów z urny (n ≤ N ) i niech p oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie m spośród tych losów to losy wygrywające (m ≤ M oraz m ≤ n ). Uzasadnij, że

 (n )⋅(N −n ) p = -m---NM-−m--. (M )
Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Skoro losujemy n spośród N losów to

 ( ) |Ω | = N . n

Policzmy teraz ile jest zdarzeń sprzyjających.

Mamy mieć m losów wygrywających – możemy je wybrać na

( ) M m

sposobów. Pozostałe n − m losów musimy wybrać spośród losów przegrywających, co możemy zrobić na

(N − M ) n − m

sposobów. W sumie jest więc

( ) ( ) M ⋅ N − M m n− m

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo wynosi

 M N −M p = (m-)⋅(-n−m-). (N ) n

No i fajnie, ale nie wygląda to jak wynik, który mieliśmy uzyskać. Żeby zobaczyć, że to jednak jest to samo, obliczmy oba ilorazy.

 M N −M ---M-!--- -----(N−M--)!------ (m-)⋅(-n−m-) m!(M−m-)! ⋅-(n−m-)!(N-−M-−n+m-)! (N ) = ---N-!-- = n n!(N−n )! M !(N − M )!n!(N − n)! = m-!(M-−--m-)!(n-−-m-)!(N-−--M-−--n+--m-)!N-! (n) ⋅(N −n) ---n!--- ⋅------(N-−n)!------ -m----M-−m--= m-!(n−m-)!--(M-−m)!(N-−n−M-+m-)! = (NM ) M-!(NN−!M--)! = ---------n-!(N--−-n)!M-!(N-−--M-)!--------- m !(n− m )!(M − m )!(N − n− M + m )!N !

Widać teraz, że rzeczywiście jest to sama liczba napisana na dwa różne sposoby.

Sposób II

Tym razem policzymy prawdopodobieństwo w trochę nietypowy sposób, dzięki czemu od razu otrzymamy wynik w postaci z treści zadania.

Zamiast myśleć o losowaniu n losów z urny, możemy myśleć inaczej: ustalamy n spośród N losów, a potem losujemy, które M spośród wszystkich N losów będą wygrywające. Przy takim podejściu mamy

 (N ) |Ω | = M

(wybieramy, które losy są wygrywające).

Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające, tzn. takie zdarzenia, że dokładnie m spośród naszych ustalonych n losów jest wygrywających. Te m losów wygrywających możemy wybrać na

( ) n m

sposobów. Ponadto musimy wciąż ustalić, które M − m spośród losów spoza naszego ustalonego zbioru będą wygrywające. Możemy to zrobić na

( ) N − n M − m

sposobów.

Prawdopodobieństwo jest więc równe

 (n )⋅(N −n ) p = -m---NM-−m--. (M )
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!