Zadanie nr 9479341
W urnie znajduje się losów, przy czym
z nich to losy wygrywające (
). Wybieramy losowo
losów z urny (
) i niech
oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie
spośród tych losów to losy wygrywające (
oraz
). Uzasadnij, że
![(n )⋅(N −n ) p = -m---NM-−m--. (M )](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadT9x.gif)
Rozwiązanie
Sposób I
Skoro losujemy spośród
losów to
![( ) |Ω | = N . n](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR2x.gif)
Policzmy teraz ile jest zdarzeń sprzyjających.
Mamy mieć losów wygrywających – możemy je wybrać na
![( ) M m](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR4x.gif)
sposobów. Pozostałe losów musimy wybrać spośród losów przegrywających, co możemy zrobić na
![(N − M ) n − m](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR6x.gif)
sposobów. W sumie jest więc
![( ) ( ) M ⋅ N − M m n− m](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR7x.gif)
zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo wynosi
![M N −M p = (m-)⋅(-n−m-). (N ) n](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR8x.gif)
No i fajnie, ale nie wygląda to jak wynik, który mieliśmy uzyskać. Żeby zobaczyć, że to jednak jest to samo, obliczmy oba ilorazy.
![M N −M ---M-!--- -----(N−M--)!------ (m-)⋅(-n−m-) m!(M−m-)! ⋅-(n−m-)!(N-−M-−n+m-)! (N ) = ---N-!-- = n n!(N−n )! M !(N − M )!n!(N − n)! = m-!(M-−--m-)!(n-−-m-)!(N-−--M-−--n+--m-)!N-! (n) ⋅(N −n) ---n!--- ⋅------(N-−n)!------ -m----M-−m--= m-!(n−m-)!--(M-−m)!(N-−n−M-+m-)! = (NM ) M-!(NN−!M--)! = ---------n-!(N--−-n)!M-!(N-−--M-)!--------- m !(n− m )!(M − m )!(N − n− M + m )!N !](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR9x.gif)
Widać teraz, że rzeczywiście jest to sama liczba napisana na dwa różne sposoby.
Sposób II
Tym razem policzymy prawdopodobieństwo w trochę nietypowy sposób, dzięki czemu od razu otrzymamy wynik w postaci z treści zadania.
Zamiast myśleć o losowaniu losów z urny, możemy myśleć inaczej: ustalamy
spośród
losów, a potem losujemy, które
spośród wszystkich
losów będą wygrywające. Przy takim podejściu mamy
![(N ) |Ω | = M](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR15x.gif)
(wybieramy, które losy są wygrywające).
Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające, tzn. takie zdarzenia, że dokładnie spośród naszych ustalonych
losów jest wygrywających. Te
losów wygrywających możemy wybrać na
![( ) n m](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR19x.gif)
sposobów. Ponadto musimy wciąż ustalić, które spośród losów spoza naszego ustalonego zbioru będą wygrywające. Możemy to zrobić na
![( ) N − n M − m](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR21x.gif)
sposobów.
Prawdopodobieństwo jest więc równe
![(n )⋅(N −n ) p = -m---NM-−m--. (M )](https://img.zadania.info/zad/9479341/HzadR22x.gif)