Zadanie nr 9479341
W urnie znajduje się losów, przy czym
z nich to losy wygrywające (
). Wybieramy losowo
losów z urny (
) i niech
oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie
spośród tych losów to losy wygrywające (
oraz
). Uzasadnij, że

Rozwiązanie
Sposób I
Skoro losujemy spośród
losów to

Policzmy teraz ile jest zdarzeń sprzyjających.
Mamy mieć losów wygrywających – możemy je wybrać na

sposobów. Pozostałe losów musimy wybrać spośród losów przegrywających, co możemy zrobić na

sposobów. W sumie jest więc

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo wynosi

No i fajnie, ale nie wygląda to jak wynik, który mieliśmy uzyskać. Żeby zobaczyć, że to jednak jest to samo, obliczmy oba ilorazy.

Widać teraz, że rzeczywiście jest to sama liczba napisana na dwa różne sposoby.
Sposób II
Tym razem policzymy prawdopodobieństwo w trochę nietypowy sposób, dzięki czemu od razu otrzymamy wynik w postaci z treści zadania.
Zamiast myśleć o losowaniu losów z urny, możemy myśleć inaczej: ustalamy
spośród
losów, a potem losujemy, które
spośród wszystkich
losów będą wygrywające. Przy takim podejściu mamy

(wybieramy, które losy są wygrywające).
Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające, tzn. takie zdarzenia, że dokładnie spośród naszych ustalonych
losów jest wygrywających. Te
losów wygrywających możemy wybrać na

sposobów. Ponadto musimy wciąż ustalić, które spośród losów spoza naszego ustalonego zbioru będą wygrywające. Możemy to zrobić na

sposobów.
Prawdopodobieństwo jest więc równe
