Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 13 kwietnia 2019 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Wartość wyrażenia jest równa
A) B) 0 C) 1 D) 2
Wektor jest obrazem wektora
w jednokładności o środku
i skali
. Zatem
A) B)
C)
D)
Największa wartość funkcji określonej dla
to
A) 1 B) C)
D) 2
Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają wszystkie liczby całkowite.
A) B)
C)
D)
W rozwinięciu wyrażenia współczynnik przy iloczynie
jest równy
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
Oblicz granicę jednostronną .
Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania .
Wykaż, że
Na bokach ,
i
trójkąta
wybrano odpowiednio punkty
i
w ten sposób, że
i
. Okrąg opisany na trójkącie
przecina bok
tego trójkąta w punkcie
takim, że
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że .
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla
, którego wyrazy są niezerowe i iloraz
spełnia warunek:
. Suma
wszystkich wyrazów ciągu
, suma
wszystkich wyrazów ciągu
o numerach nieparzystych oraz suma
wszystkich wyrazów ciągu
o numerach parzystych są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz
.
Na osi liczbowej każde dwie spośród 1000 kolejnych liczb naturalnych połączono odcinkiem. Następnie wybrano losowo jeden z tych odcinków. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że do wylosowanego odcinka należy liczba 307 (może też być jednym z jego końców). Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Obwód równoległoboku jest równy 26, miara jego kąta rozwartego
jest równa
, a promień okręgu wpisanego w trójkąt
jest równy
. Oblicz długości boków równoległoboku
.
Prosta jest styczna do wykresu funkcji
. Wykaż, że
.
W sześcian o krawędzi 4 wpisano kulę styczną do trzech ścian sześcianu oraz przechodzącą przez środek sześcianu. Oblicz promień tej kuli.
W trójkącie o polu 20 dane sa współrzędne dwóch wierzchołków:
,
oraz środek
okręgu opisanego na tym trójkącie. Wyznacz współrzędne wierzchołka
.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa rozwiązania rzeczywiste
i
, spełniające warunek
.
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, i w których suma długości dłuższej podstawy i średnicy okręgu wpisanego jest równa 6. Wyznacz wymiary tego spośród tych trapezów, który ma najmniejszy obwód. Oblicz ten obwód.