/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Różne

Zadanie nr 2233850

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , którego wyrazy są niezerowe i iloraz q spełnia warunek: q ∈ (− 1,1) . Suma S wszystkich wyrazów ciągu (an) , suma S1 wszystkich wyrazów ciągu (an ) o numerach nieparzystych oraz suma S 2 wszystkich wyrazów ciągu (an) o numerach parzystych są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz q .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Mamy do czynienia z trzema szeregami:
– o ilorazie q , pierwszym wyrazie a1 i sumie a S = 1−1q-
– o ilorazie q2 , pierwszym wyrazie a 1 i S = -a1-- 1 1−q 2
– o ilorazie q2 , pierwszym wyrazie a2 = a1q i sumie S2 = a1−1qq2 .

Pozostało rozwiązać równanie

S2 = SS 2 1 ---a-21--- -a1--- -a1q--- 2 (1 − q2)2 = 1− q ⋅ 1− q2 / : a1 -------1-------- = --1--⋅ ------q-------- / ⋅(1 − q)2(1 + q)2 (1 − q)2(1 + q)2 1− q (1− q)(1+ q) 1 = q (1 + q ) 0 = q 2 + q − 1 Δ = 1 + 4 = 5 √ -- √ -- − 1− 5 − 1+ 5 q = ----2-----≈ − 1,62 < −1 lub q = ----2-----≈ 0 ,62.

Pierwsze rozwiązanie nie spełnia warunku |q| < 1 , więc √ 5− 1 q = --2-- .  
Odpowiedź: √- q = -5−1- 2

Wersja PDF