/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Różne

Zadanie nr 3838238

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an ) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 26, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 27. Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | |S − Sn| ||-------|| < 0,00 01, Sn

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez q iloraz ciągu (an) , to

{ 2 2 2 6 = a1 + a2 + a3 = a1 + a1q+ a1q = a1(1 + q+ q ) 2 7 = 1a−1q- ⇒ a1 = 27(1 − q).

Podstawiamy teraz a = 27(1 − q) 1 z drugiego równania do pierwszego.

26 = 27(1− q)(1+ q+ q2) = 27(1 − q3) 26-= 1− q3 27 3 26 1 1 q = 1− 27-= 27- ⇒ q = 3.

Stąd a1 = 27(1 − q) = 18 i

( ) n 1− 1 n ( ) S = a ⋅ 1-−-q-= 18⋅ -----3----= 27 1− 1-- n 1 1− q 1− 1 3n ( ) 3( ) S − S 27 − 2 7 1− 13n 1− 1 − 31n -1 1 ------n = ------(------)--- = -------------= --3n---= ------. Sn 27 1 − -1n 1 − 31n 1 − 31n 3n − 1 3

W szczególności

||S − S || 1 ||-----n-|| = -n----- Sn 3 − 1

i pozostało rozwiązać nierówność

1 1 -------< ------ / ⋅10000(3n − 1 ) 3n − 1 1 0000 10 000 < 3n − 1 n 10 001 < 3 .

Ponieważ 8 3 = 6561 i 9 3 = 19 683 , nierówność tą spełniają wszystkie liczby naturalne n > 8 .  
Odpowiedź: n > 8

Wersja PDF