/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Różne

Zadanie nr 4033395

Iloczyn wszystkich wyrazów ciągu danego wzorem

(log x)n an = 3 8 , gdzie n ≥ 1,

jest równy 4log827 . Oblicz x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

( 2)log27 ( ) 2 2 4log827 = 8 3 8 = 8log827 3 = 273 = 9.

Wiemy więc, że

2 (log8x)1 (log8x)2 (log8x)3 3 = 9 = a1a2a3 ...= 3 ⋅3 ⋅ 3 ⋅⋅⋅ = = 3(log8x)1+(log8x)2+(log8x)3+⋅⋅⋅

Stąd

1 2 3 2 = (log 8x) + (log8x ) + (log 8x) + ⋅⋅⋅

Z prawej strony tej równości mamy sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a1 = q = log8 x . Suma jego wyrazów jest więc równa

--a1-- --log8x--- 2 = S = 1 − q = 1 − log x 8 2 − 2 log 8x = log 8x 23 2 = 3log8 x ⇐ ⇒ x = 8 = 4.

Powyższy rachunek miał sens o ile |q| = |lo g8x| < 1 , ale dla 2 q = 3 oczywiście tak jest.  
Odpowiedź: x = 4

Wersja PDF