/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Różne

Zadanie nr 4339018

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Czwarty wyraz tego ciągu jest o 74 większy od drugiego wyrazu i jest mniejszy niż trzeci wyraz. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa ( 64-) − 7 . Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | ||---1---||> 7, |S − Sn |

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) , a S jest sumą wszystkich wszystkich wyrazów ciągu (a ) n .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez q iloraz ciągu (an) , to wiemy, że

7 --= a4 − a2 = a1q3 − a1q = a1q(q2 − 1). 4

Ciąg składający się z wyrazów ciągu (an) o numerach parzystych jest też ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a2 = a1q i ilorazie 2 q . W szczególności q2 < 1 i suma tego szeregu jest równa

− 64-= -a-1q-- ⇒ a 1q = − 64(1 − q2). 7 1 − q2 7

Podstawiamy to wyrażenie do poprzedniego równania i mamy

7-= −a 1q (1− q2) = 64(1 − q 2)2 / ⋅-7- 4 7 64 49-- 22 256 = (1 − q ) .

Ponieważ q2 < 1 , mamy stąd

2 -7- 1− q = 16 7 9 q2 = 1 − ---= ---. 16 16

To oczywiście oznacza, że q = ± 3 4 . Zauważmy jednak, że jeżeli q = 3 4 , to z równości

64 2 a 1q = − -7 (1 − q )

wynika, że a 1 < 0 i wtedy

a − a = a q3 − a q2 = a q 2(q− 1 ) > 0 4 3 1 1 1

co jest sprzeczne z podaną informacją o tym, że a < a 4 3 . Zatem q = − 3 4 i

2 1 − 9- a1 = − 64-⋅ 1-−-q-= − 64-⋅-----16-= 7 q 7 − 34 64 4 7 16 = ---⋅ -⋅ ---= --. 7 3 16 3

Stąd

16 S = --a1--= --3---= 16-⋅ 4-= 64- 1 − q 1+ 34 3 7 21 n ( 3)n S = a ⋅ 1−--q--= 1-6⋅ 1−---−-4---= n 1 1 − q 3 1 + 3 ( ( )n ) 4 ( )n = 16-⋅ 4 1− − 3- = 64-− 64-⋅ − 3- . 3 7 4 21 21 4

Pozostało więc rozwiązać nierówność

| | | 1 | 1 7 < ||-------|| = -------- / ⋅|S − Sn| S − Sn |S − S|n| ( ) | ||64- 6-4 64- 3- n|| 1 > 7 ⋅|S− Sn| = 7 ⋅|21 − 2 1 + 21 ⋅ − 4 | 1 > 6-4⋅(0 ,75)n / ⋅-3- 3 6 4 0,046 875 > (0,75 )n .

Ponieważ

(0,75)10 ≈ 0,056 11 (0,75) ≈ 0,042

nierówność tą spełniają wszystkie liczby naturalne n > 1 0 .  
Odpowiedź: n > 10

Wersja PDF